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三角関数の微分

まず覚えてしまうのは次の二つ。\(\cos\) と \(\sin\) の微分です。

コサインの微分

\[ \begin{aligned} y &= \cos x \\ \frac{dy}{dx} &= -\sin x \end{aligned} \]

サインの微分

\[ \begin{aligned} y &= \sin x \\ \frac{dy}{dx} &= \cos x \end{aligned} \]

これを忘れると何かとキツいので覚えてしまいましょう。

これを覚えておけば、例えば次の極限値を求めたりも簡単になります。

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

どうするかというと、このように \(x\) を 0 にすると \(\frac{0}{0}\) になるようなときは、 分子分母をそれぞれ微分したときの極限値と同じになることになってます。(ロピタルの定理)

ですから、上の場合は \(\sin x\) を \(x\) で微分して \(\cos x\)、\(x\) を \(x\) で微分して 1 になるので、次のようになります。

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \\ &= 1 \end{aligned} \]

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