三角関数の導関数
三角関数の導関数公式まとめ
三角関数の導関数は次のようになります。
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \big[\sin x\big] &= \cos x\\
\frac{d}{dx} \big[\cos x\big] &= -\sin x\\
\frac{d}{dx} \big[\tan x\big] &= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x\\
\frac{d}{dx} \big[\cot x\big] &= -\csc^2 x\\
\frac{d}{dx} \big[\sec x\big] &= \sec x \tan x\\
\frac{d}{dx} \big[\csc x\big] &= -\csc x \cot x
\end{aligned}
\]
\(\cot x\)、 \(\sec x\)、 \(\csc x\) は学校で習わない場合も多いかもしれませんね。これらは、 \(\sin x\)、\(\cos x\) で書くと次のような関係にある関数です。
\[ \begin{aligned} \cot x &= \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}\\ \sec x &= \frac{1}{\cos x}\\ \csc x &= \frac{1}{\sin x} \end{aligned} \]
三角関数の導関数は全て覚えるの？
必ず覚えておかないといけないのは \(\cos\) と \(\sin\) の導関数です。
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{dx} \big[\sin x\big] &= \cos x\\
\frac{d}{dx} \big[\cos x\big] &= -\sin x
\end{aligned}
\]
これを忘れると何かとキツいので覚えてしまいましょう。
覚えたくない、という人は次の記事をみてください。
\(\cot x\)、\(\sec x\)、\(\csc x\) については、計算できることはできますが覚えてしまった方が良いと思います。しかし、高校生で学校で習わない場合は特に無理に覚えなくても大丈夫かもしれません。
アメリカのAPテスト Calculus AB や BC を受験する人は必ず覚えましょう。
三角関数を含む関数の極限値を求める例
これを覚えておけば、例えば次の極限値を求めたりも簡単になります。
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\]
どうするかというと、このように \(x\) を 0 にすると \(\displaystyle\frac{0}{0}\) になるようなときは、 分子分母をそれぞれ微分したときの極限値と同じになることになってます。(ロピタルの定理)
ですから、上の場合は \(\sin x\) を \(x\) で微分して \(\cos x\)、\(x\) を \(x\) で微分して 1 になるので、次のようになります。
\[
\begin{aligned}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \\
&= 1
\end{aligned}
\]