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ロピタルの定理

ここで紹介するロピタルの定理は、\(x \to 0\) とか \(x \to \infty\) としたときに、 \(\frac{0}{0}\) とか \(\frac{\infty}{\infty}\) となるときに適用できます。

どういうものかというと、

\[ \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \]

ならば

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L \]

となるというものです。つまり、分母と分子をそれぞれバラバラに微分してできた式の極限値 \(L\) は、もとの関数の極限値 \(L\) と同じということです。

とても簡単に計算できる場合が多々あるので、知っておくと非常に便利です。

例1: \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]

試しに次の極限値を求めてみましょう。

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \]

分子は \(x\) で、これが \(x \to 0\) なので当然分母は 0 に近づきます。分子の \(\sin x\) も \(x \to 0 \) の時は 0 に近付きます。\(\dfrac{0}{0}\) の形です。

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{0}{0} \]

ですが、この場合ロピタルの定理が使えて

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)'}{(x)'} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \\ &= 1 \end{aligned} \]

だから、

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

であることがわかります。

例2: \[ \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-x-1}{x-1} \]

ではこの場合はどうでしょうか。

\(f(x)\)、\(g(x)\) が多項式の場合も同様です。

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-x-1}{x-1} = \frac{0}{0} \]

ですので、ロピタルの定理から次のようにできます。

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{(2x^2-x-1)'}{(x-1)'} &= \frac{4x-1}{1} \\ &= 3 \end{aligned} \]

したがって、

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-x-1}{x-1} = 3 \]

となります。

試しに因数分解してみましょう。

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-x-1}{x-1} &= \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(2x+1)}{x-1} \\ &= \lim_{x \to 1} (2x+1) \\ &= 3 \end{aligned} \]

となり、上で求めた結果と同じになりました。

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