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ヘビサイドの階段関数

ここでは次のようなグラフを考えます。

横軸 (t 軸) の 0 より小さいときに値は 0、0 以上のときは値が 1 になっています。 原点を境に左右に 0 から 1 に階段状に変わります。

式で書くと次のようになります。

\[ u (t) = \begin{cases} 0 &( t \lt 0 ) \\ 1 &( t \geqq 0) \end{cases} \]

このように定義される関数 \(u(t)\) をヘビサイドの階段関数といいます。 値 0 から原点で階段状に値 1 へとポンと上がっているので「階段」関数です。

また、値が 1 なのでヘビサイドの「単位」階段関数 ともいいます。

平行移動は \( u(t-a) \)

さて、ヘビサイドの階段関数を \(t\) 軸方向に \(a\) だけ移動した場合を考えてみましょう。 \(t = a\) のところに階段ができている場合です。

\(t\) 方向への平行移動なので \(u(t - a)\) ですね。\(t = a\) で \(u(0)\) なので、そこに階段ができます。

なぜヘビサイドの階段関数?

なぜ、いきなりヘビサイドの階段関数がでてきたのかというと、それは平行移動した関数のラプラス変換を考えるためです。

元の関数 \(f(t)\) のラプラス変換を \(F(s)\) とします。そのとき、\(t\) 軸方向に \(a\) だけ平行移動した関数 \(f(t-a)\) のラプラス変換はどうなるか?という話です。

この時、ラプラス変換が存在するのは \([0, \infty)\) です。\(f(t)\) を \(a\) 移動したあとも、もともと \([0, \infty)\) であった部分のグラフだけを考えます。

そのために、\(a\) より小さい部分が 0、それ以上が 1 となるヘビサイドの階段関数 \(u(t-a)\) を、\(f(t-a)\) に掛けた関数 \(u(t-a)f(t-a)\) を考えます。

ヘビサイドの階段関数でマスクするイメージです。

ここでは計算をしませんが、ラプラス変換の定義に入れて計算すると、実はこれは次のような簡単な式になります。

\[ \mathcal{L}[u(t-a)f(t-a)] = e^{-as}F(s) \]

すなわち、t 軸方向に \(a\) だけ平行移動した関数 \(f(t-a)\) のラプラス変換は、元の \(f(t)\) のラプラス変換 \(F(s)\) に \(e^{-as}\) をかけたものになります。

これは特に 第二移動法則 といいます。

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