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移動法則 ~ \(e^{at}f(t) \)のラプラス変換

ここでは \(f(t)\) のラプラス変換 \(F(s)\) と \(e^{at}f(t) \) のラプラス変換の関係をみてみましょう。

まず \(F(s)\) はラプラス変換の定義から次の通りです。

\[ \begin{aligned} F(s) &= \mathcal{L}[f(t)] \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st}f(t) dt \\ \end{aligned} \]

さて、\(e^{at}f(t)\) のラプラス変換を計算します。上の式で \(f(t)\) のところを \(e^{at}f(t)\) に置き換えるだけですから次のようになります。

\[ \begin{aligned} \mathcal{L}[e^{at}f(t)] &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} e^{at} f(t) dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(s-a)t} f(t) dt \\ \end{aligned} \]

これはよく見ると、 上で求めた \(F(s)\) で \(s\) を \(s-a\) に置き換えたものです。ですから、

\[ \mathcal{L}[e^{at}f(t)] = F(s-a) \]

であることがわかりました。

一般に、関数 \(f(x-A)\) というのは 関数 \(f(x)\) を \(x\) 軸方向に \(A\) だけ平行移動したものです。

上の結果から \(t\) の関数 \(f(t)\) を \(e^{at}\) 倍すると、 そのラプラス変換は元の関数 \(f(t)\) のラプラス変換 \(F(s)\) に対して \(F(s-a)\) になることがわかりました。

ということは言い換えると、\(t\) の関数 \(f(t)\) を \(e^{at}\) 倍したラプラス変換は、 元の関数 \(f(t)\) のラプラス変換 \(F(s)\) を \(s\) 軸方向に \(a\) だけ平行移動したものになる、といえます。

これはラプラス変換の移動法則などと言われます。

特に 第一移動法則 といいます。では、第二移動法則とかはあるの?ってことになりますが、それは 「ヘビサイドの階段関数」をみてください。

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