\(e^{at} \)のラプラス変換
ここでは \(e^{at}\) のラプラス変換を求めます。
定義の積分を計算してももちろん良いのですが、ここでは移動法則を使ってみます。
移動法則というのは、「\( t \) の関数 \( f(t) \) のラプラス変換を \( F(s) = \mathcal{L}[f(t)] \) とすると、 \( e^{at} f(t) \) のラプラス変換は \( F(s-a) \) となる」というものです。
移動法則を使うために、 \(e^{at}\) を 「\(e^{at} f(t) \) の \(f(t)=1\) のとき」とみなせばいいのですね。
「1 のラプラス変換」でみたように、
\[
\begin{aligned}
\mathcal{L}[1] &= \frac{1}{s} \\
&= F(s)
\end{aligned}
\]
でしたから、1 に \(e^{at}\) をかけたもののラプラス変換は、\(F(s-a) = \dfrac{1}{s-a}\) となります。