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余因子展開による行列式の計算

ここでは余因子展開を使って、行列式を計算する方法を説明します。

「余因子」で「展開」するというと何やらややこしそうですね。でも、よ~く計算手順をみてみると、案外単純ですので落ち着いてやってみましょう。

さて、まずは「余因子」とは何か、パッと思い出せない人は次の記事で先に復習してください。

小行列式と余因子

さて、小行列式 \(M_{i,j}\) 、余因子 \(C_{i,j}\) は大丈夫ですか?

それでは余因子展開について説明します。

正方行列 \(A\) の行列式を余因子展開で求める

余因子展開というのは、\(n\) 次正方行列 \(A\) の行列式 \(\det (A)\) を求める方法です。

第 \(i\) 行に沿う余因子展開によって、\(\det (A)\) は次のように書けます。

\[ \begin{aligned} \det (A) &= \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} C_{i, j} \end{aligned} \]

ここで \(a_{i,j}\) は行列 \(A\) の \(i\) 行\(j\) 列の要素です。

ついでに余因子のところを、小行列まで書き下すと次のようになります。

\[ \begin{aligned} \det (A) &= \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} C_{i, j} \\ &= \sum_{j=1}^{n} a_{i,j} (-1)^{i+j} M_{i, j} \end{aligned} \]

具体例として、\(A\) が 3 次の正方行列だったとしたら、

\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix} \]

ですね (添字の行と列の間のカンマを省略してます)。この場合、第3行に沿う余因子展開は次のように書けます。

\[ a_{31} C_{31} + a_{32} C_{32} + a_{33} C_{33} \]

で、なんとこれが \(A\) の行列式と等しいというのが、余因子展開です。

\[ \det(A) = a_{31} C_{31} + a_{32} C_{32} + a_{33} C_{33} \]

これは別に 3 行目である必要はなくて、1 行目でも 2 行目でも構いません。計算がしやすい行を選べばいいことになってます。

さらに、行じゃなくて、列に沿って展開しても良いことになってます。

第 \(j\) 列に沿う余因子展開は次の通りです。

\[ \begin{aligned} \det (A) &= \sum_{i=1}^{n} a_{i,j} C_{i, j} \end{aligned} \]

2 次正方行列の行列式は \(ad-bc\) だけど

ちなみに、2 次の正方行列の行列式は「たすきがけ」で \(ad-bc\) だ、と覚えている人も多いかと思います。

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \]

これを仰々しく、1 行目の余因子展開として求めたらどうなるか試してみましょう。

\[ \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} \]

ここで、\(a_{11} = a\)、\(a_{12} = b\) は明らかです。\(C_{11}\) と \(C_{12}\) は、

\[ \begin{aligned} C_{11} &= (-1)^{1+1} M_{11} \\ &= (-1)^{2} \det((d)) \\ &=d \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} C_{12} &= (-1)^{1+2} M_{12} \\ &= (-1)^{3} \det((c)) \\ &=-c \end{aligned} \]

以上から、確かに次のようになりました。

\[ \begin{aligned} \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} &= a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} \\ &= ad + b(-c) \\ &= ad-bc \end{aligned} \]
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