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小行列式と余因子

ここでは「小行列式」と「余因子」がどんなものか説明します。

小行列式 \(M_{i,j}\)

まずは 小行列式 (Minor determinant) \(M_{i,j}\)。 「小さな」行列式、「マイナー (Minor)」 ということで記号は \(M\) を使います。

正方行列 \(A\) があるときに、その \((i,j)\) の小行列式 \(M_{i,j}\) というのは、行列 \(A\) の \(i\) 行と \(j\) 列を取り除いた部分行列の行列式のことです。

具体例でみてみましょう。

今、正方行列 \(A\) が次のように与えられたとします。

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \]

この \(A\) の \((2, 1)\) の小行列式 \(M_{2,1}\) はどうなるでしょうか。

行列 \(A\) から \(2\) 行目と \(1\) 列目を取り除き・・・

\[ \begin{pmatrix} \blacksquare & 2 & 3 \\ \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ \blacksquare & 8 & 9 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{pmatrix} \]

こんな部分行列を考えます。

こうしてできた、行列 \(A\) の部分行列の行列式が、行列 \(A\) の小行列式 \(M_{2,1}\) になります。

\[ M_{2,1} = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} \]

小行列式 \(M_{i,j}\) はこれだけです。

余因子 \(C_{i,j}\)

それでは次に余因子 (cofactor) \(C_{i,j}\) というのを定義します。こちらはコファクター (Cofactor) なので、記号は \(C\) を使います。

正方行列 \(A\) の \((i, j)\) 余因子は、上でみた \(M_{i, j}\) を使って次のように定義されます。

\[ C_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i, j} \]

余因子 \(C_{i,j}\) は小行列式 \(M_{i, j}\) の符号を調整しただけです。\(i+j\) が偶数になれば、\((-1)^{i+j}\) は 1 になるので \(C_{i,j}\) は \(M_{i,j}\) と同じになり、\(i+j\) が奇数なら符号が変わって \(C_{i,j} = -M_{i,j}\) です。

次の記事では、この余因子を使って \(A\) の行列式を計算する方法を説明します。

余因子展開による行列式の計算

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