弧長の求め方 - 極座標表示

ここでは、極座標のときに弧長は次の式で求められるということについて説明します。

\[ \begin{aligned} L &= \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ r^2 + \Big(\frac{dr}{d\theta}\Big)^2 } d\theta \end{aligned} \]

これを使うとカージオイドなどの弧長が計算出来るようになります。

これまでに、直交座標表示のときと、パラメータ表示のときの弧長の求め方をみました。パラメータ表示のときの弧長の公式は次の通りです。

\[ \begin{aligned} L &= \int_{a}^{b} \sqrt{ \Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2 } dt \end{aligned} \]

今回は極座標表示 を考えます。原点からの距離 \(r\) が \(\theta\) の関数で \(r = f(\theta)\) で与えられる場合です。 \(f(\theta)\) は考えている領域で微分可能とします。

さて、上に書いた \(x\) と \(y\) がパラメータで表されるときの弧長の式 \(L\) の式をもう一度みてみましょう。

\[ \begin{aligned} L &= \int_{a}^{b} \sqrt{ \Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2 } dt \end{aligned} \]

原点からの距離は \(r = f(\theta)\) ですから、 \(x\) と \(y\) の関係にすると \(x = f(\theta) \cos \theta\)、\( y = f(\theta) \sin \theta\) となります。

ここでパラメータは \(\theta\) ということになりますから、弧長は \(x\) 、\(y\) を \(\theta\) で微分して、それを二乗して計算できることがわかります。

\(x\)、\(y\) それぞれを \(\theta\) で微分して式を整理します。

\[ \begin{aligned} \frac{dx}{d\theta} &= \frac{dr}{d\theta} \cos \theta - r \sin \theta\\ \frac{dy}{d\theta} &= \frac{dr}{d\theta} \sin \theta - r \cos \theta\\ \therefore \ \Big(\frac{dx}{d\theta}\Big)^2 + \Big(\frac{dy}{d\theta}\Big)^2 &= r^2 + \Big(\frac{dr}{d\theta}\Big)^2 \end{aligned} \]

式を整理する過程では \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) などを使って単純化します。

したがって、この式で上の弧長の式のルートの中身を入れ替えれば、 \(\theta\) が \( \alpha \le \theta \le \beta \) のとき、弧長は次の式で計算できることがわかりました。

\[ \begin{aligned} L &= \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ r^2 + \Big(\frac{dr}{d\theta}\Big)^2 } d\theta \end{aligned} \]