面積素とパラメータ
曲面 \(S\) 上の位置ベクトルを \(u, v\) をパラメータとして、次のように表します。
\[ \overrightarrow{r}(u,v) = x(u,v) \overrightarrow{i} + y(u,v) \overrightarrow{j} + z(u,v) \overrightarrow{k} \]
さて、このときパラメータ \(u\) と \(v\) が微小変化したときに、曲面 \(S\) 上の対応する点がどのくらい動くか考えます。 そして、この微小変化がなす面積が、\(uv\) 平面と曲面 \(S\) とで、どのくらい変わるかみてみましょう。
まず、\(uv\) 平面を考えます。\(u\) が \(\Delta u\) だけ変化し、\(v\) が \(\Delta v\) だけ変化したとします。 このとき、この微小量がなす面積 \(\Delta A\) は \(\Delta u \Delta v\) です。
ちなみに面を微小区画に分けたひとつひとつを面積素といいます。面積素 \(\Delta A\) の面積は \(\Delta u \Delta v\) です。
これに対して、曲面 \(S\) でどうなるでしょうか。
まず、スタート地点としてパラメータ \((u, v)\) に対して、点 \(P\) を対応付けて、その位置ベクトルを \(\overrightarrow{r}(u,v)\) とします。
\(u\) が \(\Delta u\) だけ微小増加した点 \(Q\) の位置ベクトルは、\(\overrightarrow{r}(u+\Delta u, v)\) です。 高次の微小量を無視すると、\(\overrightarrow{r}(u+\Delta u, v)\) は次のようにかけます。
\[ \overrightarrow{r}(u+\Delta u, v) = \overrightarrow{r}(u,v) + \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u} \Delta u \]
従って、ベクトル \(\overrightarrow{PQ}\) は次となります。
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{PQ} &= \overrightarrow{r}(u+\Delta u, v) - \overrightarrow{r}(u,v)\\ &= \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u} \Delta u \end{aligned} \]
同様に \(v\) の微小変化を考えると、
\[ \overrightarrow{r}(u, v+\Delta v) = \overrightarrow{r}(u,v) + \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v} \Delta v \]
ですから、
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{PS} &= \overrightarrow{r}(u, v+\Delta v) - \overrightarrow{r}(u,v)\\ &= \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v} \Delta v \end{aligned} \]
となります。
一般に２つのベクトル \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) が作る平行四辺形の面積は、\(| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| \) で求められます。
ベクトル積 (外積) の大きさについては「ベクトル積の大きさは平行四辺形の面積」をみてください。
従って、平行四辺形 \(PQRS\) の面積 \(\Delta S\) は \(| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PS} |\) です。 上の結果から、面積素 \(\Delta S\) の大きさ (面積) は次のように書けます。
\[ \begin{aligned} \Delta S &= | \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PS} | \\ &= \Big| \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u} \Delta u \times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v} \Delta v \Big| \\ &= \Big| \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v} \Big| \Delta u \Delta v \\ &= \Big| \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial v} \Big| \Delta A \\ \end{aligned} \]
この式が \(uv\) 平面の面積素 \(\Delta A\) と、パラメータの変化に対応した曲面上の面積素 \(\Delta S\) の関係式になります。
「面積素とパラメータ (曲面 z=g(x,y) の場合)」 では、\(z=g(x,y)\) で表される曲面について面積素を考えます。