曲率 (t をパラメータとする場合)
弧長 \(s\) を変数として位置ベクトルを表した場合には、「曲率と曲率半径」でみたように、 接線ベクトルや曲率はとても簡単に求められました。
ところが、例えば常螺旋などは通常 \(t\) を媒介変数として、次のように表します。
\[ \overrightarrow{r}(t) = a\cos t \overrightarrow{i} + a\sin t \overrightarrow{j} + ct \overrightarrow{k} \]
このように位置ベクトルが弧長 \(s\) ではなく、他の変数で表されている場合の曲率の求め方を考えてみましょう。
おさらいしておくと、出発点となる弧長による式は次の通りです。
\[ \begin{aligned} \kappa(s) &= \Big| \frac{d\overrightarrow{t}}{ds} \Big|\\ \frac{ds}{dt} &= \Big| \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} \Big| \end{aligned} \]
「空間曲線の単位接線ベクトル」なども参考にしてください。
ざっと復習すると一つ目は定義なので良いとして、弧長\(s\) の \(t\) による微分は次のように求まります。
弧長 \(s\) は
\[ s = \int_a^b \sqrt{\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2} dt \]
ですが、\(\overrightarrow{r}(t) = x(t) \overrightarrow{i} + y(t) \overrightarrow{j} \) のとき、\(\displaystyle\frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = x'(t)\overrightarrow{i}+y'(t)\overrightarrow{j}\) なので、
\[ \Big| \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} \Big| = \sqrt{\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2+\Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2} \]
ですから、上の式は直ちに
\[ s = \int_a^b \Big| \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} \Big| dt \]
となります。ここで \(a\) を定数として、\(s\) を \(t\) の関数として
\[ s(t) = \int_a^{t} \Big| \frac{d\overrightarrow{r}}{du} \Big| du \]
となるので、
\[ \frac{ds}{dt} = \Big| \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} \Big| = | \overrightarrow{r}'(t) | \]
となります。
まずは \(s\) を \(t\) に変数変換するのに、次のように変形できます。
\[ \begin{aligned} \kappa(t) &= \Big| \frac{d\overrightarrow{t}/dt}{ds/dt} \Big|\\ &= \Big| \frac{\overrightarrow{t}'(t)}{|\overrightarrow{r}'(t)|} \Big|\\ &= \frac{|\overrightarrow{t}'(t)|}{|\overrightarrow{r}'(t)|} \end{aligned} \]
\[ \kappa(t) = \frac{| \overrightarrow{t}'(t) |}{| \overrightarrow{r}'(t)|} \]
また \(\overrightarrow{t} = \displaystyle\frac{d\overrightarrow{r}}{ds}\) なので、上と同様に次が得られます。
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{t} &= \frac{\overrightarrow{r}'(t)}{| \overrightarrow{r}'(t) |} \\ \therefore \ \overrightarrow{r}'(t) &= | \overrightarrow{r}'(t) | \overrightarrow{t}(t) \end{aligned} \]
従ってさらに \(t\) で微分すると次のようになります。
\[ \overrightarrow{r}''(t) = | \overrightarrow{r}'(t) |' \overrightarrow{t}(t) + | \overrightarrow{r}'(t) | \overrightarrow{t}'(t) \]
ここで \(\overrightarrow{t}'\) は \(\overrightarrow{t}\) と垂直なので、法線ベクトル \(\overrightarrow{n} = \displaystyle\frac{\overrightarrow{t}'}{| \overrightarrow{t}'|}\) の関係にあります。 つまり \(\overrightarrow{t}'(t) = | \overrightarrow{t}'(t) | \overrightarrow{n} = \kappa(t) | \overrightarrow{r}'(t) | \overrightarrow{n} \) です。
\(\overrightarrow{t}\) は単位ベクトルなので、\(\overrightarrow{t}\cdot\overrightarrow{t} = 1\) ゆえに、\(\overrightarrow{t}' \cdot \overrightarrow{t} + \overrightarrow{t} \cdot \overrightarrow{t}' = 0 \) であるから、 \(\overrightarrow{t}' \cdot \overrightarrow{t} = 0\) つまり \(\overrightarrow{t}'\) は \(\overrightarrow{t}\) と垂直です。
従って、
\[ \overrightarrow{r}''(t) = |\overrightarrow{r}'(t)|' \overrightarrow{t}(t) + \kappa(t)|\overrightarrow{r}'(t)|^2 \overrightarrow{n} \]
さらに次のベクトル積を作ります。
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{r}' \times \overrightarrow{r}'' &= | \overrightarrow{r}' | \overrightarrow{t} \times (|\overrightarrow{r}'|' \overrightarrow{t} + \kappa |\overrightarrow{r}'|^2 \overrightarrow{n})\\ &= |\overrightarrow{r}'||\overrightarrow{r}'|' (\overrightarrow{t} \times \overrightarrow{t}) + \kappa |\overrightarrow{r}'|^3 (\overrightarrow{t} \times \overrightarrow{n})\\ &= \kappa |\overrightarrow{r}'|^3 (\overrightarrow{t} \times \overrightarrow{n})\\ &= \kappa |\overrightarrow{r}'|^3 \overrightarrow{b} \end{aligned} \]
\(\overrightarrow{b}\) は単位従法線ベクトル なので \(|\overrightarrow{b}|=1\) です。
ここで \(\overrightarrow{t} \times \overrightarrow{t} = \overrightarrow{0}\) を使いました。ベクトル積の大きさはその二つのベクトルのつくる平行四辺形の面積と等しいのでしたね。 同じベクトルのベクトル積では面積が \(0\) です。
以上から両辺の大きさを考えると、次式が得られます。
\[ \kappa(t) = \frac{|\overrightarrow{r}'(t) \times \overrightarrow{r}''(t)|}{|\overrightarrow{r}'(t)|^3} \]