フーリエ変換
フーリエ変換の導出
「複素フーリエ積分」でみたように、複素フーリエ積分は次の式で書けます。
\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{is(x-t)} dt ds \end{aligned} \]
ここから、式を少し変形してみましょう。
\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{is(x-t)} dt ds \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{isx} \cdot e^{-ist} dt ds\\ &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \underbrace{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-ist} dt }_{F(s)} \ e^{isx} ds\\[1.8em] \therefore \ \ f(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(s) e^{isx} ds\\[1.6em] \end{aligned} \]
\[ F(s) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-isx} dx \]
こうして得られた \(F(s)\) を関数 \(f\) のフーリエ変換 (Fourier transform) といいます。
また、
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} F(s) e^{isx} ds \]
は、フーリエ変換 \(F(s)\) から \(f(x)\) が定まる関係式であり、これをフーリエ逆変換 (inverse Fourier transform) といいます。
\(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\) とせずに、\(f(x) = \dfrac{1}{2\pi} \cdots\) とする場合もあります。教科書によって異なりますので、注意してください。\(\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\) とするのは、フーリエ変換とフーリエ逆変換の対称性を持たせるためです。
フーリエ変換の表現方法
上では関数 \(f(x)\) のフーリエ変換を \(F(s)\) と書きました。
この他、関数 \(f(x)\) のフーリエ変換を表すために、 \(\mathcal{F}[f]\) とか \(\hat{f}(s)\) などと書く場合もあります。
また、フーリエ逆変換を表すために、形式的に \(F^{-1}(s)\)、\(\mathcal{F}^{-1}[f]\)、\(\hat{f}^{-1}\) という風に表記される場合があります。