ド・モアブルの定理
ここではド・モアブルの定理 (de Moivre's theorem) とか
ド・モアブルの公式 (de Moivre's formula) として知られる定理について説明します。
ド・モアブルの定理というのは、次の関係のことです。
\[
( \cos \theta + i \sin \theta )^n = \cos n\theta + i \sin n\theta
\]
ここで \(n\) は整数。\(i\) は \(i^2 = -1\) となる虚数単位です。
具体的な数字を当てはめて展開すると \(n\) 倍角の公式が
オイラーの公式を知っている人には見慣れた式なのですが、知らない人にとっては
「何でわざわざ \(\cos \theta + i \sin \theta\) などという式を \(n\) 乗してるの？」と疑問が出てくると思います。
オイラーの公式は次の関係です。
\[
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
\]
そこで、具体的な数字を当てはめて、少しド・モアブルの定理で遊んでみましょう。
まずは \(n=1, 2, 3, \cdots\) と書き下すと、次のようになります。
\[
\begin{aligned}
( \cos \theta + i \sin \theta )^1 &= \cos \theta + i \sin \theta \\
( \cos \theta + i \sin \theta )^2 &= \cos 2\theta + i \sin 2\theta \\
( \cos \theta + i \sin \theta )^3 &= \cos 3\theta + i \sin 3\theta \\
\cdots
\end{aligned}
\]
\(n=2\) を見てみましょう。
左辺は \(( \cos \theta + i \sin \theta )^2\) ですが、ここで \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) を思い出して、
展開します。
\[
\begin{aligned}
( \cos \theta + i \sin \theta )^2 &= (\cos \theta)^2 + 2 \cos \theta ( i \sin \theta) + (i \sin \theta)^2 \\
&= \cos^2 \theta + 2 i \cos \theta \sin \theta - \sin^2 \theta\\
&= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta + i ( 2 \cos \theta \sin \theta)
\end{aligned}
\]
ド・モアブルの定理では、これが \(\cos 2\theta + i \sin 2\theta\) と等しい、と言っているわけです。
2 つの複素数が等しい、ということは、実部同士、虚部同士が等しいということです。
\[
\underbrace{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta}_{\text{\scriptsize{実部}}} + i \underbrace{ ( 2 \cos \theta \sin \theta) }_{\text{\scriptsize{虚部}}} = \underbrace{\cos 2\theta}_{\text{\scriptsize{実部}}} + i \underbrace{\sin 2\theta}_{\text{\scriptsize{虚部}}}
\]
したがって、次のことが分かります。
\[
\begin{aligned}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
\sin 2\theta &= 2 \cos \theta \sin \theta
\end{aligned}
\]
これは 2 倍角の公式そのものですね。
それではさらに \(n=3\) についても、同様に展開してみましょう。
3 乗のときは次のように展開できます。
\[
(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3 a^2 b + 3 a b^2 \pm b^3
\]
「二項定理」も参考にしてください。
\[
\begin{aligned}
( \cos \theta + i \sin \theta )^3 &= \cos^3 \theta + 3 \cos^2 \theta ( i \sin \theta) + 3 \cos \theta (i \sin \theta)^2 + ( i \sin \theta)^3\\
&= \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^2 \theta + i ( 3 \cos^2 \theta \sin \theta - \sin^3 \theta)
\end{aligned}
\]
したがって、次のことが分かります。
\[
\begin{aligned}
\cos 3\theta &= \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^2 \theta \\
\sin 3\theta &= 3 \cos^2 \theta \sin \theta - \sin^3 \theta
\end{aligned}
\]
これは 3 倍角の公式 になります。
2 倍角の公式までなら加法定理からすぐにわかりますが、
3 倍角になると加法定理から書き下すのは大変です。
このようにド・モアブルの定理を利用する方が素早く計算できると思います。
オイラーの公式から導く
最後に、オイラーの公式を使ってド・モアブルの定理が成り立つことを見ておきましょう。
オイラーの公式は次の通りです。
\[
e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta
\]
よって、\(\theta\) を \(n \theta\) に書き換えた次の式も成り立ちます。
\[
e^{i (n \theta)} = \cos n \theta + i \sin n \theta
\]
一方、
\[
( \cos \theta + i \sin \theta )^n = (e^{i \theta})^n = e^{i (n \theta)}
\]
ですから、上記のド・モアブルの定理が成り立つことがわかります。