組み合わせの主な問題
単純な組み合わせ
「メンバーが 10人。その中から 3 人選ぶときの 3 人の組み合わせは何通りあるか？」というような組み合わせの問題です。これが基本になります。
異なる \(n\) 個から \(r\) 個取り出す組み合わせの総数 \({}_n C_r\) は次の形で書けます。
\[
\begin{aligned}
{}_n C_r &= \frac{n!}{r!(n-r)!}
\end{aligned}
\]
10人から 3 人選ぶ組み合わせなら、
\[
\begin{aligned}
{}_{10} C_3 &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}
\end{aligned}
\]
として計算できます。
次のページでは上の式を導きます。
重複のある組み合わせ問題
お店やレストランで決まった数を注文するときのように、組み合わせ結果に同じモノがある組み合わせです。
これは本来順序を問わない組み合わせの問題なのですが、「仕切り板」を考えることで「同じモノが含まれるときの順列」と同様に、 ダブリのあるモノの順列の問題として解くことができます。
チーム分け問題
10人のメンバーを 4人、4人、2人 のチームに分ける組み合わせが何通りあるか、といった問題です。
一般的に書くと、次の式で求められます。
異なる \(n\) 個のものを、\(r_1\) 個、\(r_2\) 個、\(\cdots\)、\(r_i\) 個に分ける組み合わせ方は次の式で求められます。
\[
{}_{n} C_{r_1} \cdot {}_{n-{r_1}} C_{r_2} \cdot {}_{n-{r_1}-{r_2}} C_{r_3} \cdots \cdot {}_{n-{r_1}-{r_2}-\cdots-r_{i-1}} C_{r_i}
\]