複素形フーリエ級数
複素形のフーリエ級数
\([-\pi, \pi]\) で定義された関数 \(f(x)\) が、そこで区分的に滑らかである時、\(f(x)\) のフーリエ級数は次の形で表すことができる。
\[ \begin{aligned} f(x) &= \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{inx}\\ c_n &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx \end{aligned} \]
これを複素形フーリエ級数 (complex form of the Fourier series) といいます。
前のページ「フーリエ級数」では、次が成り立つことをみました。
上の複素形フーリエ級数の \(c_n\) から、この \(a_n\) と \(b_n\) の「通常の」フーリエ級数の式が成り立つことを見てみましょう。
さて、オイラーの公式から一般に \(e^{ix} = \cos x + i \sin x\) が成り立つので、
\[ \begin{aligned} c_n &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)(\cos nx - i\sin nx) dx\\ &= \frac{1}{2} \Big[ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx dx - i \cdot \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx dx \Big]\\ &= \frac{1}{2}(a_n - i b_n) \end{aligned} \]
です。
同様に
\[ \begin{aligned} c_{-n} &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{inx} dx\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)(\cos nx + i\sin nx) dx\\ &= \frac{1}{2}(a_n + i b_n) \end{aligned} \]
となります。
また、\(n=0\) のときは
\[ \begin{aligned} c_0 &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} dx\\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx\\ &= \frac{a_0}{2} \end{aligned} \]
です。
以上から、複素形のフーリエ級数から
\[ \begin{aligned} \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{inx} &= \underbrace{\cdots + c_{-2} + c_{-1}}_{\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} c_{-n} e^{-inx}}} + c_0 + \underbrace{c_{1} + c_{2} + \cdots}_{\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} e^{inx}}}\\ &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(c_{-n} e^{-inx} + c_n e^{inx})\\ &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\Big\{ \frac{1}{2}(a_n + ib_n) (\cos nx - i\sin nx) \\ &+ \frac{1}{2}(a_n - ib_n) (\cos nx + i\sin nx) \Big\}\\ &= \frac{a_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos nx \cancel{- i a_n \sin nx} \\& \cancel{+ i b_n \cos nx} + b_n \sin nx \\ &+ a_n \cos nx \cancel{+ i a_n \sin nx} \\ & \cancel{- i b_n \cos nx} + b_n \sin nx)\\ &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \end{aligned} \]
が成り立つことがわかります。
周期が \(2L\) の場合の複素形フーリエ級数
上でみたように周期が \([-\pi, \pi]\) のときの複素形フーリエ級数がわかっているものとして、 周期が \(2L\) のときの複素形フーリエ級数がどうなるかみてみましょう。
今、\(t = \cfrac{\pi x}{L}\) として、 \(g(t) = f(\frac{Lt}{\pi})\) を満たす関数 \(g(t)\) を考えます。
\(g(t)\) と \(f(x)\) の関係が分かりにくい場合は、具体例で考えると納得しやすいかもしれません。
例えば、\(f(x) = x^2\) だとすると、\(g(t)\) は
\[ \begin{aligned} g(t) &= f(\frac{L}{\pi} t)\\ &= \frac{L^2}{\pi^2} t^2 \end{aligned} \]
なる関数です。
\(t = \cfrac{\pi x}{L}\) とおいているので、\(t\) から \(x\) に戻せば
\[ \begin{aligned} g(t) &= \frac{L^2}{\pi^2} t^2\\[1.4em] &= \frac{L^2}{\pi^2} \Big(\frac{\pi x}{L}\Big)^2\\[1.4em] &= \frac{L^2}{\pi^2} \frac{\pi^2}{L^2} x^2\\[1.4em] &= x^2 \\ &= f(x) \end{aligned} \]
\(x\) は \([-\pi, \pi]\) で定義されていましたから、 \(g(t)\) は \([-\pi, \pi]\) で定義された関数になります。
したがって、\(g(t)\) は
\[ \begin{aligned} g(t) &= \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{int}\\ c_n &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t) e^{-int} dt \end{aligned} \]
を満たします。
この式で変数を \(t\) から \(x\) に戻すと、\(dt = \cfrac{\pi}{L} dx\) ですから、複素形のフーリエ係数 \(c_n\) は
\[ \begin{aligned} c_n &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(t) e^{-int} dt\\[1.4em] &= \frac{1}{2\pi} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-in\frac{\pi}{L}x} \cdot \frac{\pi}{L} dx\\ &= \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(x) e^{-\frac{in\pi x}{L}} dx \end{aligned} \]
となります。
\(g(t) = f(\frac{L}{\pi}t) \)、つまり \(g(t) = f(x)\) と定義していたので、
\[f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{\frac{in\pi x}{L}}\]
となります。
以上から、周期が \(2L\) の場合は、複素形フーリエ級数は次の通りです。
\[ \begin{aligned} f(x) &= \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{in\pi x/L}\\ c_n &= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(x) e^{-in\pi x/L} dx \end{aligned} \]