弧長の求め方 - 直交座標表示 例題 (1)
\(y = 2x\) の \(0 \le x \le 1\) の部分の長さを求めよ。
求める弧長はグラフを描くとすぐにわかりますね。\(y=2x\) の \(0 \le x \le 1\) の部分ですから、 2 辺の長さが 1 と 2 の直角三角形の斜辺ですから、ピタゴラスの定理から \(\sqrt{1^2+2^2} = \sqrt{5}\) ですね。
さて、「弧長を求める - 直交座標表示」では、次を学びました。
\(xy\) 直交座標系で曲線が \(y = f(x)\) で表される時、この曲線の区間 \([a, b]\) の弧長 \(L\) は次の式で求められる。
\[
\begin{aligned}
L &= \int_{a}^{b} \sqrt{ 1 + [ f'(x) ]^2 } dx
\end{aligned}
\]
試しに、この公式を使って弧長を求めてみましょう。
今、問題から \(f(x)=2x\) ですから、微分すると \(f'(x) = 2\) です。
積分区間は \([a,b] = [0,1]\) です。
よって、弧長 (といっても、今は直線ですが) \(L\) は次の式で求まります。
\[
\begin{aligned}
L &= \int_0^1 \sqrt{1+(2)^2} dx\\
&= \int_0^1 \sqrt{5} dx\\
&= \sqrt{5} \int_0^1 dx\\
&= \sqrt{5} [x]_0^1\\
&= \sqrt{5}
\end{aligned}
\]
確かに \(L = \sqrt{5}\) になりましたね。