三角関数の有理式の積分例題 (1)

次の不定積分を求めよ。

\[ \int \frac{dx}{1 - \sin x + \cos x} \]

積分して \(\dfrac{1}{1- \sin x + \cos x}\) になる関数など、パッと分かるものではありませんよね。

ここでは、問題の式が三角関数を含む有理式であることに着目して、「\(\sin\) と \(\cos\) の有理式の積分」でみたように、 \(t = \tan(x/2)\) とおいて、積分してみましょう。

\(t = \tan(x/2)\) とおくと、\(\sin\) や \(\cos\) は次のように書けます。

\[ \begin{aligned} t &= \tan \frac{x}{2}\\[1.2em] \sin x &= \frac{2t}{1+t^2}\\[1.2em] \cos x &= \frac{1-t^2}{1+t^2}\\[1.2em] dx &= \frac{2}{1+t^2} dt \end{aligned} \]

これは、丸暗記ではなく、図 (三角形) を書いて、パッと導けるようにしておくと良いです。

\(t = \tan\dfrac{x}{2}\) とおくと、

\[ \begin{aligned} \sin x &= \frac{2t}{1+t^2}\\[1.2em] \cos x &= \frac{1-t^2}{1+t^2}\\[1.2em] dx &= \frac{2}{1+t^2} dt \end{aligned} \]

ですから、

\[ \begin{aligned} 1 - \sin x + \cos x &= 1 - \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}\\ &= \frac{2(1-t)}{1+t^2} \end{aligned} \]

と変形できます。

したがって、問題の積分は

\[ \begin{aligned} \int \frac{dx}{1 - \sin x + \cos x} &= \frac{1}{2} \int \frac{1+t^2}{1-t} \frac{2}{1+t^2} dt\\[1.2em] &= \int \frac{dt}{1-t}\\[1.2em] &= - \ln | 1 - t | + C\\[1.2em] &= - \ln \Big| 1 - \tan\frac{x}{2} \Big| + C \end{aligned} \]

となります。(C は積分定数です)

三角関数の有理式の積分例題(1)
三角関数の有理式の積分例題(2)

三角関数の有理式の積分 例題 (1)

三角関数の有理式の積分例題 (1)