複素形フーリエ級数 例題(2)

前問 の定義域違いです。周期は \(2\pi\) で同じです。これはどのように解けば良いでしょうか。

この場合は、フーリエ係数を計算する時の積分範囲を変えれば良いです。

計算してみましょう。

まず、\(n=0\) のとき

\[ \begin{aligned} c_0 &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} x dx\\[1.4em] &= \frac{1}{2\pi} \Big[ \frac{x^2}{2} \Big]_0^{2\pi}\\[1.4em] &= \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{4\pi^2}{2}\\[1.4em] &= \pi \end{aligned} \]

です。

\(n\ne0\) のときは、

\[ \begin{aligned} c_n &= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} x e^{-inx} dx\\[1.4em] &= \frac{1}{2\pi} \Big\{ \Big[-\frac{1}{in} x e^{-inx}\Big]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} -\frac{1}{in} e^{-inx} dx \Big\}\\[1.4em] &= \frac{1}{2\pi} \Big\{ -\frac{1}{in} \cdot 2\pi e^{-2\pi ni} + \frac{1}{in} \Big[ -\frac{1}{in} e^{-inx} \Big]_{0}^{2\pi} \Big\}\\[1.4em] &= \frac{1}{2\pi} \Big\{ -\frac{1}{in} \cdot 2\pi - \frac{1}{i^2 n^2} (\underbrace{e^{-2\pi ni}}_{=1} - 1)\Big\}\\[1.4em] &= -\frac{1}{in}\\[1.4em] &= \frac{i}{n} \end{aligned} \]

となります。

以上から、問題の関数の複素形フーリエ級数は

\[ f(x) = \pi + i \sum_{ \begin{subarray}{l} n=-\infty\\ n \ne 0 \end{subarray}}^{\infty} \frac{e^{inx}}{n} \]

となります。

• 複素形フーリエ級数 例題(1)
• 複素形フーリエ級数 例題(2)
• 複素形フーリエ級数 例題(3)