フーリエ積分 例題(2)

フーリエ積分の式に当てはめて、計算していきましょう。 ここではフーリエ積分 [2] として記載した式に当てはめて、計算してみます。

\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \Big\{ \underbrace{\int_0^1 t \cos s(x-t) dt}_{= I} \Big\} ds\\ I &= \int_0^1 t \cos s(x-t) dt\\[1.4em] &= \Big[ -\frac{t \sin s(x-t)}{s} \Big]_0^1 - \int_0^1 -\frac{\sin s(x-t)}{s} dt\\[1.4em] &= -\frac{\sin s(x-1)}{s} + \frac{1}{s} \int_0^1 \sin s(x-t) dt\\[1.4em] &= -\frac{\sin s(x-1)}{s} + \frac{1}{s}\Big[ \frac{1}{s} \cos s(x-t) \Big]_0^1\\[1.4em] &= -\frac{\sin s(x-1)}{s} + \frac{1}{s^2} \{ \cos s(x-1) - \cos sx \}\\[1.4em] &= \frac{\cos s(x-1) - \cos sx - s \sin s(x-1)}{s^2} \end{aligned} \]

\[ \therefore \ f(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{\cos s(x-1) - \cos sx - s \sin s(x-1)}{s^2} ds \]

これで問題のフーリエ積分が求まりました。

ちなみに、フーリエ積分 [1] で計算したものと、別物に見えてしまいますが、 これを三角関数の加法定理で \(\cos s(x-1)\) などの部分をバラして、整理すると、

\[ \begin{aligned} &\frac{\cos s(x-1) - \cos sx - s \sin s(x-1)}{s^2} \\[1.4em] &= \frac{\cos x + s \sin s -1}{s^2} \cos sx + \frac{\sin s - s \cos s}{s^2} \sin sx \end{aligned} \]

となります。一方、\(A(s)\) と \(B(s)\) は

\[ \begin{aligned} A(s) &= \frac{1}{\pi} \int_0^1 t \cos st dt\\[1.2em] &= \cdots\\[1.2em] &= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\cos x + s \sin s - 1}{s^2}\\[1.2em] B(s) &= \frac{1}{\pi} \int_0^1 t \sin st dt\\[1.2em] &= \cdots\\[1.2em] &= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\sin s - s \cos s}{s^2} \end{aligned} \]

と、計算できるので

\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} [A(s) \cos sx + B(s) \sin sx] ds\\[1.4em] &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{\cos x + s \sin s -1}{s^2} \cos sx + \frac{\sin s - s \cos s}{s^2} \sin sx ds \end{aligned} \]

となるので、どちらも同じであることがわかります。

• フーリエ積分 例題(1)
• フーリエ積分 例題(2)