フーリエ正弦級数 例題(1)

\(f(x)\) をフーリエ「正弦」級数に展開するためには、\(f(x)\) を奇関数とみる必要があります。

問題では \(x\) が \(0 \lt x \lt l\) で定義されていますが、この関数を次のように \(-l \lt x \lt 0\) の部分も拡張して考えることにします。

これで、\(f(x)\) が奇関数になりました。

さて、\(f(x)\) は奇関数とすると、フーリエ係数 \(a_n = 0\) \((n=0, 1, \cdots)\) ですから、 \(b_n\) だけ計算すれば良いことになります。

\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{2}{l} \int_0^{l} \cos\frac{\pi x}{l} \sin \frac{n\pi x}{l} dx \end{aligned} \]

ここで、三角関数の加法定理から

\[ \begin{aligned} \sin\Big(\frac{n\pi x}{l} + \frac{\pi x}{l}\Big) &= \sin\frac{n\pi x}{l}\cos\frac{\pi x}{l} + \cos\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{\pi x}{l}\\ \sin\Big(\frac{n\pi x}{l} - \frac{\pi x}{l}\Big) &= \sin\frac{n\pi x}{l}\cos\frac{\pi x}{l} - \cos\frac{n\pi x}{l}\sin\frac{\pi x}{l}\\ \end{aligned} \]

ですから、これらを加えることで、次の式が得られます。

\[ \begin{aligned} \sin\frac{(n+1)\pi x}{l} + \sin\frac{(n-1)\pi x}{l} &= 2\sin\frac{n\pi x}{l}\cos\frac{\pi x}{l}\\ \therefore \ \cos\frac{\pi x}{l}\sin\frac{n\pi x}{l} &= \frac{1}{2}\Big\{ \sin\frac{(n+1)\pi x}{l} + \sin\frac{(n-1)\pi x}{l} \Big\} \end{aligned} \]

\(n = 1\) のとき、

\[ \cos\frac{\pi x}{l}\sin\frac{\pi x}{l} = \frac{1}{2} \sin\frac{(n+1)\pi x}{l} \]

ですから、

\[ \begin{aligned} b_1 &= \frac{2}{l} \int_0^{l} \cos\frac{\pi x}{l} \sin \frac{\pi x}{l} dx\\ &= \frac{2}{l} \int_0^{l} \frac{1}{2} \sin\frac{2\pi x}{l} dx\\ &= \frac{1}{l} \int_0^{l} \sin\frac{2\pi x}{l} dx\\ &= \frac{1}{l} \Big[ -\frac{l}{2\pi}\cos\frac{2\pi x}{l} \Big]_0^{l}\\ &= 0 \end{aligned} \]

\(n \gt 1\) のときは、

\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{2}{l} \int_0^{l} \frac{1}{2}\Big\{ \sin\frac{(n+1)\pi x}{l} + \sin\frac{(n-1)\pi x}{l} \Big\} dx \\[1.4em] &= \frac{1}{l} \int_0^{l} \sin\frac{(n+1)\pi x}{l} + \sin\frac{(n-1)\pi x}{l} dx \\[1.4em] &= \frac{1}{l} \Big[ -\frac{l}{(n+1)\pi} \cos\frac{(n+1)\pi}{l}x - \frac{l}{(n-1)\pi}\cos\frac{(n-1)\pi}{l}x \Big]_0^l\\[1.4em] &= - \Big[ \frac{1}{(n+1)\pi} \cos\frac{(n+1)\pi}{l}x + \frac{1}{(n-1)\pi}\cos\frac{(n-1)\pi}{l}x \Big]_0^l\\[1.4em] &= - \Big[ \frac{1}{(n+1)\pi} \{\cos(n+1)\pi - 1\} + \frac{1}{(n-1)\pi} \{\cos(n-1)\pi - 1\} \Big]\\[1.4em] &= - \Big[ \frac{1}{(n+1)\pi} \{(-1)^{n+1} - 1\} + \frac{1}{(n-1)\pi} \{(-1)^{n+1} - 1\} \Big]\\[1.4em] &= \frac{1}{(n+1)\pi} \{(-1)^{n+2} + 1\} + \frac{1}{(n-1)\pi} \{(-1)^{n+2} + 1\}\\[1.4em] &= \Big\{ \frac{1}{(n+1)\pi} + \frac{1}{(n-1)\pi} \Big\} \{(-1)^{n} + 1\}\\[1.4em] &= \frac{2n\{(-1)^n+1\}}{\pi (n^2 - 1)} \end{aligned} \]

となります。

以上から、\(f(x)\) のフーリエ正弦級数は次のようになります。

\[ \begin{aligned} f(x) &= \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\frac{n\pi x}{l}\\ &= \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2n\{(-1)^n+1\}}{\pi (n^2 - 1)} \sin\frac{n\pi x}{l}\\ &= \frac{4}{\pi} \Big\{ \frac{2}{3}\sin\frac{2\pi x}{l} + \frac{4}{15}\sin\frac{4\pi x}{l} + \frac{6}{35} \sin\frac{6\pi x}{l} + \cdots \Big\} \end{aligned} \]

以上で \(f(x)\) のフーリエ正弦級数が求められました。

• フーリエ正弦級数 例題(1)
• フーリエ正弦級数 例題(2)