フーリエ変換 例題(2)
次の関数のフーリエ変換 \(F(s)\)を求めよ。
\[ f(x) = \begin{cases} \ \ 1 \ \ &(a \lt x \lt b)\\ \ \ 0 \ \ &(\small{\text{otherwise}}) \end{cases} \]
関数 \(f(x)\) のフーリエ変換は、次の式で求められます。
\[ F(s) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-isx} dx \]
これに、問題の \(f(x)\) を当てはめて計算します。
\(f(x)\) は \((a \lt x \lt b)\) で \(1\) で、それ以外で \(0\) ですから、次のようになります。
\[ \begin{aligned} F(s) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{a}^{b} e^{-isx} dx\\[1.4em] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Big[ - \frac{e^{-isx}}{is} \Big]_a^b\\[1.4em] &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{e^{-ias} - e^{-ibs}}{is}\\[1.4em] &= \frac{(e^{-ibs} - e^{-ias})i}{\sqrt{2\pi} s} \end{aligned} \]
- フーリエ変換 例題(1)
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