点と直線の距離

ある点 \(P\) を通り、方向ベクトルが \(\overrightarrow{u}\) である直線 L があります。

このとき L と点 \(Q\) との距離 D を求めましょう。

D は点 \(Q\) から L に下ろした垂線の足までの距離になります。

図から直ちに、次の関係がわかります。

\[ \begin{aligned} D &= \| \overrightarrow{PQ} \| \sin \theta \end{aligned} \]

ここで \(\theta\) は \(\overrightarrow{PQ}\) と \(\overrightarrow{u}\) のなす角です。

ベクトル積では、次の関係があります。

\[ \begin{aligned} \| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{u} \| &= \| \overrightarrow{PQ} \| \| \overrightarrow{u} \| \sin \theta\\ \therefore \ \sin \theta &= \frac{\| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{u} \|}{\| \overrightarrow{PQ} \| \| \overrightarrow{u} \|} \end{aligned} \]

以上から、直線Lと点Q との距離 D は次のようにかけます。

\[ \begin{aligned} D &= \| \overrightarrow{PQ} \| \sin \theta \\ &= \| \overrightarrow{PQ} \| \frac{\| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{u} \|}{\| \overrightarrow{PQ} \| \| \overrightarrow{u} \|}\\ &= \frac{\| \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{u} \|}{\| \overrightarrow{u} \|} \end{aligned} \]