2階同次線形微分方程式 例題 (2)
次の微分方程式を解け。
\[y''-2y'+y=0\]
問題の微分方程式は、定数係数の2階同次線形微分方程式です。
「定数係数の2階同次線形微分方程式の解法」でみたように、特性方程式から一般解を求めます。
問題の微分方程式の特性方程式は、 \(\lambda^2-2\lambda+1=0\) です。
\[ \begin{aligned} \lambda^2-2\lambda+1 &=0\\ (\lambda-1)^2 &= 0\\ \therefore \ \lambda &= 1 \end{aligned} \]
特性方程式が重根 \(\lambda\) を持つ場合、 2階同次線形微分方程式の一般解は
\[y = (C_1 + C_2 x) e^{\lambda x}\]
従って、この問題の一般解は \(y = (C_1 + C_2x) e^{x}\) となります。(\(C_1\)、\(C_2\) は任意の定数)