フーリエ余弦積分 例題(1)

フーリエ余弦積分を求めるため、問題の関数 \(f(x)\) を偶周期的に拡張して考えます。

フーリエ余弦積分は、次の式で求められます。

\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} A(s) \cos sx ds\\ A(s) &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(t) \cos st dt\\ \end{aligned} \]

\(A(s)\) を計算すると、次の通りです。

\[ \begin{aligned} A(s) &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} f(t) \cos st dt\\[1.4em] &= \frac{2}{\pi} \underbrace{\int_0^1 t^2 \cos st dt}_{=I_1}\\[1.4em] I_1 &= \int_0^1 t^2 \cos st dt\\[1.4em] &= \Big[ \frac{t^2 \sin st}{s} \Big]_0^1 - \int_0^1 2t \cdot \frac{\sin st}{s} dt\\[1.4em] &= \frac{\sin s}{s} - \frac{2}{s} \underbrace{\int_0^1 t \sin st dt}_{=I_2}\\[1.4em] I_2 &= \int_0^1 t \sin st dt\\[1.4em] &= \Big[ -\frac{t \cos st}{s} \Big]_0^1 - \int_0^1 -\frac{\cos st}{s} dt\\[1.4em] &= -\frac{\cos s}{s} + \frac{1}{s} \int_0^1 \cos st dt\\[1.4em] &= -\frac{\cos s}{s} + \frac{1}{s} \Big[ \frac{\sin st}{s} \Big]_0^1\\[1.4em] &= -\frac{\cos s}{s} + \frac{\sin s}{s^2}\\[1.4em] \therefore \ I_1 &= \frac{\sin s}{s} - \frac{2}{s}\Big( \frac{\sin s}{s^2} - \frac{\cos s}{s} \Big)\\[1.4em] &= \Big\{ \Big(1 - \frac{2}{s^2}\Big) \sin s + \frac{2}{s} \cos s \Big\} \frac{1}{s}\\[1.4em] \therefore \ A(s) &= \frac{2}{\pi} \Big\{ \Big(1 - \frac{2}{s^2}\Big) \sin s + \frac{2}{s} \cos s \Big\} \frac{1}{s} \end{aligned} \]

したがって、\(f(x)\) のフーリエ余弦積分は次のようになります。

\[ f(x) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \Big\{ \Big(1 - \frac{2}{s^2}\Big) \sin s + \frac{2}{s} \cos s \Big\} \frac{\cos xs}{s} ds \]

• フーリエ余弦積分 例題(1)
• フーリエ余弦積分 例題(2)