フーリエ余弦積分 例題(2)
次の関数のフーリエ余弦積分を求めよ。
\[ f(x) = \begin{cases} \ \ 1 \ \ &(0 \lt x \lt \pi)\\ \ \ 0 \ \ &(x \gt \pi) \end{cases} \]
この問題も、\(f(x)\) を偶周期的に拡張して偶関数とみなすことで、フーリエ余弦積分の式にあてはめることができます。
この問題と同じ関数のフーリエ正弦積分については「フーリエ正弦積分 例題 (1)」をみてください。
フーリエ余弦積分は
\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} A(s) \cos sx ds\\ A(s) &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(t) \cos st dt\\ \end{aligned} \]
ですから、この問題の場合は、
\[ \begin{aligned} A(s) &= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} \cos st dt\\[1.4em] &= \frac{2}{\pi} \Big[ \frac{\sin st}{s} \Big]_0^{\pi}\\[1.4em] &= \frac{2 \sin \pi s}{\pi s} \end{aligned} \]
となります。
したがって、\(f(x)\) のフーリエ余弦積分表示は
\[ f(x) = \frac{2}{\pi} \int_0^{\infty} \frac{\sin \pi s \cos xs}{s} ds \]
となります。
- フーリエ余弦積分 例題(1)
- フーリエ余弦積分 例題(2)