フーリエ級数 例題(3)
次の周期関数のフーリエ級数を求めよ。
\[ f(x) = \begin{cases} \ 0 & (-1 \lt x \lt 0)\\ \ x & (0 \lt x \lt 1) \end{cases} \]
この問題では \(x\) の範囲が \(-1\) から \(1\) で与えられています。 \(f(x)\) は周期関数としていますから、これをひとつの周期として、このパターンが繰り返されると考えます。
周期 \(p = 2L\) の関数 \(f(x)\) が、区分的に滑らかであれば、フーリエ級数は次のように求められます。
ここでフーリエ係数 \(a_n\)、\(b_n\) は次の通り。
この問題では周期は、\(-1\) から \(1\) で \(2\)。したがって、\(p = 2L = 2\) から、 \(L = 1\) として、上のフーリエ係数の式に当てはめます。
まず \(n=0\) のとき
\[ \begin{aligned} a_0 &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) dx\\ &= \int_{-1}^{1} f(x) dx\\ &= \int_{0}^{1} x dx\\ &= \Big[\frac{x^2}{2}\Big]_0^1\\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} \]
\(n = 1, 2, \cdots\) のとき、\(a_n\) は
\[ \begin{aligned} a_n &= \int_{0}^{1} x \cos n\pi x dx\\ &= \Big[ \frac{1}{n \pi} x \sin n\pi x\Big]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{n \pi} \sin n\pi x dx\\ &= -\frac{1}{n \pi} \Big[ -\frac{1}{n \pi} \cos n\pi x\Big]_0^1\\ &= \frac{1}{n^2 \pi^2}(\cos n\pi - 1)\\ &= \frac{1}{n^2 \pi^2}\{(-1)^n - 1\} \end{aligned} \]
この計算では部分積分を用いています。部分積分については「部分積分」をご覧ください。
同じく \(n = 1, 2, \cdots\) のとき \(b_n\) は
\[ \begin{aligned} b_n &= \int_0^1 x \sin n\pi x dx\\ &= \Big[-\frac{1}{n \pi} x \cos n\pi x \Big]_0^1 - \int_0^1 -\frac{1}{n\pi} \cos n\pi x dx\\ &= -\frac{1}{n \pi} \cos n\pi + \frac{1}{n \pi} \int_0^1 \cos n\pi x dx\\ &= \frac{(-1)^{n+1}}{n \pi} + \frac{1}{n \pi}\Big[\frac{1}{n \pi} \sin n\pi x\Big]_0^1\\[1.4em] &= \frac{(-1)^{n+1}}{n \pi} \end{aligned} \]
以上から、周期関数 \(f(x)\) のフーリエ級数は、次のように書けます。
\[ f(x) = \frac{1}{4} + \sum_{n=1}^{\infty} \Big[ \frac{(-1)^n -1}{n^2\pi^2} \cos n\pi x + \frac{(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin n\pi x \Big] \]
\(n=1, 2, \cdots\) として、少し書き下すと次のようになります。
\[ \begin{aligned} f(x) = \frac{1}{4} &- \frac{2}{\pi^2} \Big( \cos\pi x + \frac{1}{3^2} \cos 3\pi x + \frac{1}{5^2} \cos 5\pi x + \cdots \Big)\\ &+ \frac{1}{\pi} \Big( \sin \pi x - \frac{1}{2} \sin 2\pi x + \frac{1}{3} \sin 3\pi x - \cdots \Big) \end{aligned} \]
- フーリエ級数 例題(1)
- フーリエ級数 例題(2)
- フーリエ級数 例題(3)
- フーリエ級数 例題(4)