フーリエ級数 例題(4)

この問題では \(x\) の範囲が \(-1\) から \(1\) で与えられています。 \(f(x)\) は周期関数としていますから、これをひとつの周期として、このパターンが繰り返されると考えます。

この問題では周期は、\(-1\) から \(1\) で \(2\)。したがって、\(p = 2L = 2\) から、 \(L = 1\) とします。

\(n=0\)のとき

\[ \begin{aligned} a_0 &= \int_{-1}^1 f(x) dx\\ &= \int_{-1}^{0} (-1) dx + \int_0^1 2x dx\\ &= 0 \end{aligned} \]

\(a_n\) は次のように計算できます。

\[ \begin{aligned} a_n &= \int_{-1}^{1} f(x) \cos n\pi x dx\\ &= \int_{-1}^{0} (-1) \cos n\pi x + \int_0^1 2x \cos n\pi x dx\\[1.4em] &= -\Big[ \frac{1}{n\pi} \sin n\pi x \Big]_{-1}^{0} + 2 \int_0^{1} x \cos n\pi x dx\\[1.4em] &= -\frac{1}{n\pi} \{0 - \sin(-n\pi)\} + 2 \int_0^1 x \cos n\pi x dx\\[1.4em] &= 2\int_{0}^{1} x \cos n\pi x dx\\[1.4em] &= 2 \Big\{ \Big[ \frac{1}{n\pi} x \sin n\pi x \Big]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{n\pi} \sin n\pi x dx \Big\}\\[1.4em] &= -\frac{2}{n\pi} \int_0^1 \sin n\pi x dx\\[1.4em] &= -\frac{2}{n\pi} \Big[ -\frac{1}{n\pi} \cos n\pi x \Big]_0^1\\[1.4em] &= \frac{2}{n^2 \pi^2}(\cos n\pi - 1)\\[1.4em] &= \frac{2}{n^2 \pi^2}\{ (-1)^n - 1\}\\[1.4em] \end{aligned} \]

一方、\(b_n\) は同じように計算して次のようになります。(\(a_n\) と同じように部分積分で計算するだけなので、省略します)

\[ \begin{aligned} b_n &= \int_{-1}^1 f(x) \sin n\pi x dx\\[1.4em] &= \int_{-1}^{0} (-1) \sin n\pi x dx + \int_0^1 2x \sin n\pi x dx\\[1.4em] &= \cdots\\ &= \frac{1-3(-1)^n}{n\pi} \end{aligned} \]

以上から、\(f(x)\) のフーリエ級数は次のようになります。

\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos n\pi x + b_n \sin n\pi x)\\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \Big[ \frac{2}{n^2\pi^2}\{(-1)^n - 1\} \cos n\pi x + \frac{1-3(-1)^n}{n\pi} \sin n\pi x \Big]\\[1.4em] &= -\frac{4}{\pi^2}\Big( \cos \pi x + \frac{1}{9} \cos 3\pi x + \cdots \Big) \\ &\ \ \ + \frac{2}{\pi}\Big( 2 \sin \pi x - \frac{1}{2} \sin 2\pi x + \cdots \Big) \end{aligned} \]

• フーリエ級数 例題(1)
• フーリエ級数 例題(2)
• フーリエ級数 例題(3)
• フーリエ級数 例題(4)