フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換例題(2)

次の関数のフーリエ余弦変換 \(F_c(s)\) とフーリエ正弦変換 \(F_s(s)\) を求めよ。

\[ f(x) = \begin{cases} \ \ x \ \ &(0 \lt x \lt a)\\ \ \ 0 \ \ &(a \lt x ) \end{cases} \]

フーリエ余弦変換

フーリエ余弦変換を求めるため、関数 \(f(x)\) を偶周期的に拡張して考えます。

\(f(x)\) が偶関数である時、フーリエ余弦変換は次の式で求められます。

\[ \begin{aligned} F_c(s) &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} f(x) \cos sx dx \end{aligned} \]

問題の \(f(x)\) を上の式に当てはめると、次のようになります。

\[ \begin{aligned} F_c(s) &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{a} x \cos sx dx\\[1.4em] &= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\Big( \Big[ \frac{x \sin sx}{s} \Big]_0^a - \int_0^a \frac{\sin sx}{s} dx \Big)\\[1.4em] &= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\Big( \frac{a \sin as}{s} + \Big[ \frac{\cos sx}{s^2} \Big]_0^a \Big)\\[1.4em] &= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\Big( \frac{a \sin as}{s} + \frac{\cos as - 1}{s^2} \Big) \end{aligned} \]

フーリエ正弦変換

フーリエ正弦変換を求めるため、関数 \(f(x)\) を奇周期的に拡張して考えます。

\(f(x)\) が奇関数である時、フーリエ正弦変換は次の式で求められます。

\[ \begin{aligned} F_s(s) &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} f(x) \sin sx dx \end{aligned} \]

問題の \(f(x)\) を上の式に当てはめると、次のようになります。

\[ \begin{aligned} F_s(s) &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{a} x \sin sx dx\\[1.4em] &= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\Big( \Big[ -\frac{x \cos sx}{s} \Big]_0^a - \int_0^a \Big(-\frac{\cos sx}{s}\Big) dx \Big)\\[1.4em] &= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\Big( -\frac{a \cos as}{s} + \Big[ \frac{\sin sx}{s^2} \Big]_0^a \Big)\\[1.4em] &= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\Big( \frac{\sin as}{s^2} - \frac{a \cos as}{s} \Big) \end{aligned} \]

積分では部分積分を使っています。部分積分についての復習は「部分積分」をみてください。