フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換

フーリエ余弦変換

フーリエ余弦積分は「フーリエ余弦積分」でみたように、\(f(x)\) が偶関数の場合に

\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} A(s) \cos sx ds\\ A(s) &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(t) \cos st dt\\ \end{aligned} \]

で与えられます。この \(A(s)\) を \(f(x)\) の式に代入して、少し整理すると

\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(t) \cos st dt \cdot \cos sx ds\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} \underbrace{ \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(t) \cos st dt }_{=F_c(s)} \cdot \cos sx ds\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} F_c(s) \cos sx ds\\ \end{aligned} \]

となります。

以上から、フーリエ余弦変換 \(F_c(s)\) (Fourier Cosine Transform) は次の式で表されます。

また、フーリエ余弦逆変換 (Inverse Fourier Cosine Transform) は次の式で表されます。

フーリエ正弦変換

フーリエ正弦積分は「フーリエ正弦積分」でみたように、\(f(x)\) が奇関数の場合に

\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} B(s) \sin sx ds\\ B(s) &= \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(t) \sin st dt\\ \end{aligned} \]

で与えられます。この \(B(s)\) を \(f(x)\) の式に代入して、少し整理すると

\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\infty} f(t) \sin st dt \cdot \sin sx ds\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} \underbrace{ \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{0}^{\infty} f(t) \sin st dt }_{=F_s(s)} \cdot \sin sx ds\\ &= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_0^{\infty} F_s(s) \sin sx ds\\ \end{aligned} \]

となります。

以上から、フーリエ正弦変換 \(F_s(s)\) (Fourier Sine Transform) は次の式で表されます。

また、フーリエ正弦逆変換 (Inverse Fourier Sine Transform) は次の式で表されます。

• フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換 例題(1)
• フーリエ余弦変換とフーリエ正弦変換 例題(2)