ベクトルの線積分 例題 (2)
ベクトル場 \(\overrightarrow{F} = a(\sin t\overrightarrow{i} + \cos t\overrightarrow{j})\) (\(a\) は正の定数) において、
経路 \(C\) を
\(C: \overrightarrow{r}=\cos t\overrightarrow{i} + \sin t \overrightarrow{j} + bt\overrightarrow{k}\) \(\Big(0 \le t \le \displaystyle\frac{\pi}{4}\Big)\) とするとき、線積分
\[ \int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} \]
を求めよ。
「ベクトルの線積分」の問題です。
\(\overrightarrow{r}=\cos t\overrightarrow{i} + \sin t \overrightarrow{j} + bt\overrightarrow{k}\) を \(t\) で微分すると、
\[ \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = - \sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j} + b \overrightarrow{k} \]
です。
形式的に \(d\overrightarrow{r} = (-\sin t \overrightarrow{i} + \cos t \overrightarrow{j} + b \overrightarrow{k}) dt \) とすると、成分表示すると次のようになります。
\[ d\overrightarrow{r} = \langle -\sin t , \cos t , b \rangle dt \]
また、\(\overrightarrow{F}\) は成分表示すると \(\overrightarrow{F} = \langle a\sin t, a \cos t, 0 \rangle\) です。内積は \(x\) 成分、\(y\) 成分、\(z\) 成分それぞれ掛け算して足し合わせて求めますので、次のように計算できます。
\[ \begin{aligned} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} &= \langle a\sin t, a \cos t, 0 \rangle \cdot \langle -\sin t, \cos t, b \rangle dt\\ &= a (- \sin^2 t + \cos^2 t) dt \end{aligned} \]
ここで、三角関数のところは \(\cos t\) が前に来るように並べ替えると \(\cos^2 t - \sin^2 t\) ですが、 これは加法定理 \(\cos2t = \cos(t + t) = \cos^2 t - \sin^2 t\) ですから、\(\cos2t\) です。
\[ \begin{aligned} \int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} a (- \sin^2 t + \cos^2 t) dt\\ &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} a\cos 2t dt\\ &= \Big[ \frac{a \sin2t}{2}\Big]_0^{\frac{\pi}{4}}\\ &= \frac{a}{2} \Big\{\sin (2 \cdot \frac{\pi}{4}) - \sin 0\Big\}\\ &= \frac{a}{2} (1 - 0)\\ &= \frac{a}{2} \end{aligned} \]
以上から答えが \(\displaystyle\frac{a}{2}\) と求まります。