弧長の求め方 - パラメータ表示 例題 (2)
\(x\) と \(y\) が \(x = 2 \cos t\)、\(y = 2 \sin t\) で与えられている。\(t\) の範囲は \([0, \pi]\) とする。\((x, y)\) の軌跡の弧長を求めよ。
弧長を求める問題です。
まずは、どのような軌跡であるか、考えてみましょう。
与えられた式は \(x\) と \(y\) が \(x = 2 \cos t\)、\(y = 2 \sin t\) です。
この図で赤い点が \((x,y)\) を表しています。\(t=0\) のとき点は \((2, 0)\) にあり、 \(t\) が大きくなるにつれ、半径 \(2\) の円周上を動き、 \(t=\pi\) のときに \((-2,0)\) となります。
つまり、軌跡は半径 \(2\) の円周の上半分側です。半径 \(r=2\) の円周の弧長はぐるっと一回りで \(2\pi r = 4\pi\) ですから、求める軌跡はこの半分の \(2\pi\) です。
パラメータ表示のときの弧長の公式
問題の弧長はすぐにわかりますが、ここでは弧長を求める公式を活用して計算してみましょう。
パラメータ表示の時の、弧長の公式はこれです。
\(t\) を媒介変数 (パラメータ) として、\(x = x(t)\) 、\(y=y(t)\) のとき、 \(t\) の範囲を \([a, b]\) としたときの弧長 \(L\) は次の式で求められる。
この公式に当てはめて計算してみましょう。
\(x(t)=2\cos t\)、\(y(t)=2\sin t\) ですから、それぞれ \(t\) で微分すると \(x'(t)=-2\sin t\)、\(y'(t)=2 \cos t\) です。
\(t\) の範囲は \([0, \pi]\) ですから、\(a\) は \(0\) で \(b\) は \(\pi\) です。
これらを公式に当てはめると、次のように計算できます。
確かに \(2\pi\) になりました。
極座標表示として弧長を求める
この問題を極座標として考えて、今 \(t\) を \(\theta\) と書き直すと、\(x = 2\cos \theta\)、\(y = 2\sin \theta\)。 \(\theta\) の範囲が \([0, \pi]\) という状況です。
極座標での弧長を求める公式は次の式です。
これを適用することでも、確かに弧長がもとまることがわかります。
ここで \(r=2\) で一定の状況です。\(\theta\) の変化によって、\(r\)が変わらないので \(\displaystyle\frac{dr}{d\theta} = 0\) です。