弧長の求め方 - パラメータ表示 例題 (1)
\(x\) と \(y\) が \(x = t\)、\(y = 2t\) で与えられている。\(t\) の範囲は \([0, 1]\) とする。 \((x,y)\) の軌跡の弧長を求めよ。
\(x = t\) として \(y=2t\) ですから、パラメータ無しで簡単に書けば \(y = 2x\)。つまり、この軌跡は直線 \(y=2x\) の \(0 \le x \le 1\) の部分です。
つまり、求める弧長は問題「弧長の求め方 - 直交座標表示 問題 1」と同じです。
パラメータを使った形式の練習問題として、\(x\) を \(t\) に書き換えただけです。
曲線 (ここでは直線ですが) の弧長は 「弧長の求め方 - パラメータ表示」でみたように、 次の式で求められます。
\(t\) を媒介変数 (パラメータ) として、\(x = x(t)\) 、\(y=y(t)\) のとき、 \(t\) の範囲を \([a, b]\) としたときの弧長 \(L\) は次の式で求められる。
\[
\begin{aligned}
L &= \int_{a}^{b} \sqrt{ [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 } dt
\end{aligned}
\]
この公式で弧長 \(L\) を求めてみましょう。
今、\(x = t\)、\(y = 2t\) であり、\(t\) の範囲は \([0, 1]\) である。
この時、上記の公式から弧長 \(L\) は次の式で求められる。
\[
\begin{aligned}
L &= \int_0^1 \sqrt{\Big(\frac{dx}{dt}\Big)^2 + \Big(\frac{dy}{dt}\Big)^2} dt \\
&= \int_0^1 \sqrt{1 + 2^2} dt\\
&= \int_0^1 \sqrt{5} dt\\
&= \sqrt{5} \int_0^1 dt\\
&= \sqrt{5}
\end{aligned}
\]