留数を求める公式 例題 (2)
次の複素関数の特異点と留数を求めよ。(t は実数とする)
\[ f(z) = \frac{e^{zt}}{(z-2)^3} \]
\(f(z)\) が \(z=z_0\) で \(m\) 位の極を持つ場合には次の式が使えます。
\[
\underset{z=z_0}{\text{Res}} f(z) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \{(z-z_0)^m f(z)\}
\]
与えられた式、
\[ f(z) = \frac{e^{zt}}{(z-2)^3} \]
は \(z=2\) で 3 位の極を持つ。上の公式を用いて、留数を計算できる。
\[
\begin{aligned}
\underset{z=2}{\text{Res}} f(z) &= \frac{1}{(3-1)!} \lim_{z \to 2} \frac{d^{2}}{dz^{2}} \Big\{(z-2)^3 \frac{e^{zt}}{(z-2)^3}\Big\}\\
&= \frac{1}{2} \lim_{z \to 2} \frac{d^2}{dz^2} e^{zt}\\
&= \frac{1}{2} \lim_{z \to 2} t^2 e^{zt}\\
&= \frac{t^2 e^{2t}}{2}
\end{aligned}
\]