区分求積法 問題(2)
次の定積分を級数の極限値の形に書き換え、値を求めよ。
\[ \int_0^3 (x^3 - x^2) dx \]
この問題では、次の関係を用いて定積分を級数の形に書き換えます。
\[ \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \]
ここで \(\Delta x = \cfrac{b-a}{n}\)、\(x_i = a + i\Delta x\) です。
この式の意味については「区分求積法」をみてください。
また、次の公式も思い出しましょう。
\[
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n} k &= \frac{n(n+1)}{2}\\
\sum_{k=1}^{n} k^2 &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\
\sum_{k=1}^{n} k^3 &= \bigg[ \frac{n(n+1)}{2} \bigg]^2
\end{aligned}
\]
数列の和の公式の導き方については「数列の和の公式」をみてください。
この定積分自体は簡単に値が求まります。
\[
\begin{aligned}
\int_0^3 (x^3 - x^2) dx &= \Big[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3}\Big]_0^3\\
&= \frac{3^4}{4} - {3^3}{3}\\
&= \frac{45}{4}\\
&= 11.25
\end{aligned}
\]
級数に変形して計算しても、ちゃんと 11.25 になるのでしょうか。
上に載せた定理で \(\Delta x = \cfrac{3}{n}\)、\(x_i = \cfrac{3i}{n}\) \((i=1,2, \cdots, n)\) であるから、 次のように計算できる。
\[
\begin{aligned}
\int_a^b f(x) dx &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \\
&= \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \Big[\Big(\frac{3i}{n}\Big)^3 - \Big(\frac{3i}{n}\Big)^2\Big] \cdot \frac{3}{n}\\
&= \lim_{n \to \infty} \Bigg[\frac{81}{n^4} \sum_{i=1}^n i^3 - \frac{27}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 \Bigg] \\
&= \lim_{n \to \infty} \Bigg[\frac{81}{n^4} \Big\{\frac{n(n+1)}{2}\Big\}^2 - \frac{27}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \Bigg] \\
&= \lim_{n \to \infty} \Bigg[\frac{81}{4} \Big(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}\Big) - \frac{9}{2} \Big(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}\Big) \Bigg] \\
&= \frac{81}{4} - 9\\
&= \frac{45}{4}\\
&= 11.25
\end{aligned}
\]
これで数列の和を使って定積分の値が計算できました。