ε-δ 論法による極限

微分では極限値を考えるときに、「コレコレを無限に小さく」とか「無限にナントカに近付けた場合」という風なことを考えます。

しかし、エイヤッと「無限に」小さくしてみた、とか、「無限に」エイヤッと近付けたりしてみた、というのでは話が荒っぽくなってしまいます。

そこで、より厳密に極限値を考えるために、ε-δ 論法というのを使います。

ε-δ 論法は 19世紀のドイツの数学者カール・ワイエルシュトラスによって考案されました。

ε はイプシロン。δ はデルタです。

ε-δ 論法での極限値

ε-δ 論法では $\displaystyle{\lim_{x \to a}f(x) = L}$ のことを次のように定義します。

もし $|x-a| < \delta$ ならば、任意の $\epsilon$ で $|f(x) - L| \lt \epsilon$ となる、というような $\delta$ を見つけられるのであれば $f(x)$ の $x \to a$ の極限値は $L$ である

ちなみに、点 $x = a$ で $f(x)$ が定義されている必要はありません。

「点 $x = a$ で $f(x)$ が定義されている必要はありません」ということはどういうことでしょうか。例えば次の関数 $f(x)$ を考えてみましょう。

f(x) = \frac{\sin (x)}{x}

この関数は $x = 0$ とすると分母が $0$ になるので、 $x=0$ では定義されていません。しかし、 $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$ という極限値を考えることはできる、ということです。

任意の $\epsilon$ というと何をイメージするか分かりにくいですね。 $\epsilon$ については、「どんなに小さな $\epsilon$ を考えても」という風に考えておけば良いです。

ですから上の極限の定義を、もう少し噛み砕くと、

どんなに小さな任意の $\epsilon$ を考えても、 $|x-a| < \delta$ ならば $|f(x) - L| \lt \epsilon$ になるような $\delta$ があるなら $\displaystyle{\lim_{x \to a} f(x) = L}$ である

ということです。

あれやこれやと言い換えて、もとの定義から遠ざかっても良くないので、具体的に問題を解いて理解を深めましょう。

問題 $\epsilon-\delta$ 法で $\displaystyle{\lim_{x \to 3}(2x-1)} = 5$ を証明せよ。

ここでは評価する関数 $f(x) = 2x - 1$ です。これはグラフを書くと下図のような直線のグラフになります。

$\delta$ をどのようにとれば $| (2x - 1) - 5 | \lt \epsilon$ となるか考えるのですね。

解き方 $0 \lt |x - 3| \lt \delta$ ならば、

$\begin{aligned} | (2x - 1) - 5| &= |2x - 6|\\ &= | 2(x - 3)|\\ &= |2| |x - 3|\\ &= 2 |x-3|\\ &\lt 2 \delta \end{aligned}$

よって、これが $\epsilon$ より小さいので

$2 \delta \lt \epsilon$

すなわち、

$\delta < \frac{\epsilon}{2}$

となる $\delta$ をとれば、 $| (2x - 1) - 5 | \lt \epsilon$ を満たす。

従って $\displaystyle{\lim_{x \to 3}(2x-1)} = 5$ である。

解答の意味を念のためもう一度みておきます。

もう一度同じ図をみてください。

ここでは $\epsilon = 1$ として図を描いています。すると、確かに $\delta = \displaystyle{\frac{\epsilon}{2}} = 0.5$ として、 $x = 3 \pm 0.5$ の範囲では、極限値 $5$ から $\epsilon = 1$ ほども離れていない値をとることがわかりますね。

$x \to +\infty$ のときの極限については「ε-δ 論法による極限 (x → ∞)」をみてください。考え方は一緒ですが、ちょっと違います。