フーリエ余弦級数
フーリエ余弦級数
「フーリエ級数」でみたように、周期 \(2L\) の周期関数 \(f(x)\) は、 区分的に滑らかである時、次のような級数の形で書くことができます。
\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \Big(a_n \cos\frac{n\pi x}{L} + b_n \sin\frac{n\pi x}{L}\Big)
\]
ここでフーリエ係数 \(a_n\)、\(b_n\) は次の通り。
\[
\begin{aligned}
a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\frac{n\pi x}{L} dx & \small{(n = 0, 1, 2, \cdots)}\\
b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\frac{n\pi x}{L} dx & \small{(n = 1, 2, \cdots)}\\
\end{aligned}
\]
ここで \(f(x)\) が偶関数であるとします。 \(\cos\) は偶関数ですから、\(f(x)\) と \(\cos\) の積は偶関数、\(f(x)\) と \(\sin\) の積は奇関数になります。
したがって、まず上の \(b_n\) は直ちに \(0\) である、とわかります。
一方、\(a_n\) は、被積分関数が偶関数であることを考慮すると、
\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} dx\\ &= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} dx \end{aligned} \]
となります。
このことから、 \(f(x)\) が偶関数のとき、フーリエ級数は次のようになります。
\[
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \Big(a_n \cos\frac{n\pi x}{L}\Big)
\]
\[
\begin{aligned}
a_n &= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos \frac{n\pi x}{L} dx & \small{(n = 0, 1, 2, \cdots)}\\
\end{aligned}
\]
これを フーリエ余弦級数 (Fourier Cosine Series) といいます。「余弦」はコサインのことです。
偶周期的拡張
\(0 \lt x \lt L\) の範囲である関数 \(f(x)\) が定義されているとき、 \(f(x)\) が偶関数になるように \(-L \lt x \lt 0\) の範囲に拡張することを偶周期的拡張 (even periodic expansion) といいます。
半周期 \(L\) だけ与えられた場合、偶周期的拡張することで、上記のフーリエ余弦級数に展開できるようになります。