変数分離形の微分方程式の解き方

次の形でかける微分方程式を変数分離形の微分方程式 (separable differential equation) といいます。

\[ g(y) \frac{dy}{dx} = f(x) \tag{1} \]

ここで \(g(y)\) は \(y\) だけの式、\(f(x)\) は \(x\) だけの式です。

\(f(x)\)、\(g(y)\) が連続関数であれば積分が存在します。つまり、\(f\)、\(g\) が連続関数のとき、次を満たす関数 \(F(x)\)、\(G(y)\) が存在します。

\[ \begin{aligned} \frac{dF}{dx} &= f(x)\\ \frac{dG}{dy} &= g(y) \end{aligned} \]

さて、\(G(y)\) を \(x\) で微分すると、\(y\) は \(x\) の関数なのでチェーンルールから

\[ \begin{aligned} \frac{d}{dx} G(y) &= \frac{dG}{dy} \frac{dy}{dx}\\ &= g(y) \frac{dy}{dx} \end{aligned} \]

となります。これと、元の式 \((1)\) から次の関係がわかります。

\[ \frac{d}{dx} G(y) = f(x) \]

この両辺を \(x\) で積分すると、次になります。

\[ G(y) = \int f(x) dx + C \]

\(G(y)\) は \(g(y)\) の原始関数でしたから、次のようにもかけます。

\[ \int g(y) dy = \int f(x) dx + C \tag{2} \]

この式は左辺は \(y\) のみ、右辺は \(x\) のみに分離されています。

このように、\((1)\) の形の式の場合、このように変数 \(x\) と \(y\) が右辺と左辺それぞれに分離された形に書き直せます。

このため、\((1)\) の形の式は、変数分離形の微分方程式と呼ばれます。

英語で「変数分離形の」微分方程式は、「separable な」微分方程式といいます。 separable は「分離可能な」という意味なので、「分離可能な」微分方程式と言われることもあります。

ちなみに、ここで \(g(y)\) は一次式である必要はありません。\(g(y)\) を \(y\) の二次式の \(g(y) = y^2\) とした、次のような式も変数分離形です。

\[ y^2 \frac{dy}{dx} = x \]

変数分離形であるために、「線形な」微分方程式である必要はありません。

変数分離形の微分方程式は、\((2)\) の関係式で解くことができます。

つまり、

\[ g(y) \frac{dy}{dx} = f(x) \]

という形の式は、次のように \(f(x)\) と \(g(y)\) を積分することで、微分方程式を解くことができます。

\[ \int g(y) dy = \int f(x) dx + C \]

これは、形式的には \((1)\) の式の両辺に、「\(dx\) をかける」ことによって、分母を払うように

\[ g(y) dy = f(x) dx \tag{3} \]

と変形して、さらにこの両辺に左から \(\displaystyle \int\) をつけて積分したのと同じになっています。

このため、変数分離形の微分方程式を解くにあたり、\((3)\) のように書いて進めるのが一般的です。