余因子行列と逆行列

余因子行列

\(n\)次正方行列 \(A=[a_{ij}]\) において、\(A\) の行列式 \(|A|\) の \(i\) 行 \(j\) 列成分 \(a_{ij}\) に対する余因子を \(C_{ij}\) とします。

このとき、\(C_{ij}\) を \(i\) 行 \(j\) 列成分にする、次の行列を考えます。

\[ \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n}\\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix} \]

この、元の行列の余因子を \(ij\) 成分に持つ行列の転置行列、すなわち

\[ \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1}\\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{1n} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix} \]

を \(A\) の余因子行列 (adgugate matrix) といいます。行列 \(A\) の余因子行列を \(\text{adj}(A)\) とも書きます。

余因子行列と逆行列の公式

上で定義した余因子行列 \(\text{adj}(A) = [C_{ji}]\) と、元の行列 \(A=[a_{ij}]\) の積を作ります。

この積で得られる正方行列の \(ij\) 成分は

\[ \sum_{k=1}^{n} a_{ik} C_{jk} = a_{i1} C_{j1} + a_{i2} C_{j2} + \cdots + a_{in} C_{jn} \]

です。ここで余因子展開 (および、余因子の積和の性質) から

\[ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} a_{ik} C_{jk} = \begin{cases} \ |A| &(i = j)\\ \ \ \ 0 &(i \ne j) \end{cases} \end{aligned} \]

が成り立つので、上の積は

\[ \begin{aligned} A \cdot \text{adj}(A) &= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1}\\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{bmatrix}\\[1.4em] &= \begin{bmatrix} |A| & 0 & \cdots & 0\\ 0 & |A| & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & |A| \end{bmatrix}\\ &= |A| \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\\ &= \det(A) I \end{aligned} \]

(\(I\) は単位行列) となります。

行列 \(A\) が正則 (逆行列が存在する) であるとき \(\det(A) \ne 0\) ですから、両辺を \(\det(A)\) で割り、左から \(A^{-1}\) をかければ、次の式を得ます。

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \]

このように、\(A\) の逆行列 \(A^{-1}\) は、\(A\) の行列式と余因子行列で表されます。