クレローの微分方程式の解き方
次の形の微分方程式をクレローの微分方程式 (Clairaut equation) といいます。
\[ y = xy' + f(y') \tag{1} \]
\(y' = p\) とおくと、\((1)\) は次の式になります。
\[ y = xp + f(p) \tag{2} \]
これを \(x\) で微分すると、次のようになります。
\[ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= p = p + x \frac{dp}{dx} + \frac{df}{dp} \frac{dp}{dx}\\ \therefore \ \Big[x + \frac{df}{dp}\Big] \frac{dp}{dx} &= 0 \end{aligned} \]
よって、\(\cfrac{dp}{dx} = 0\) または \(x = - \cfrac{df}{dp} = -f'(p)\) となります。
まず、前者の \(\cfrac{dp}{dx} = 0\) から、任意定数 \(C\) を用いて、\(p = C\) となります。 これと \((2)\) から、\((1)\) の一般解は次式であることがわかります。
\[ y = Cx + f(C) \]
これは \((1)\) の \(y'\) を \(C\) に置き換えた式と同じです。
一方、後者の \(x = - \cfrac{df}{dp}\) は \((2)\) に代入すると次式となります。
\[ y = - p f'(p) + f(p) \]
これは任意定数を含まず、また特殊解でもない、特異解 (singular solution) です。
まとめると、クレローの微分方程式の解は次のようになります。
| 一般解: | \(y = Cx + f(C)\) |
| 特異解: | \(x = - f'(p)\) \(y = - p f'(p) + f(p)\) ( \(p\) は媒介変数 ) |
一般解は直線群を表します。そして、この特異解は一般解の表す直線群の包絡線 (envelope) を表しています。