チェバの定理

いきなりですが、ここでは次の問題を考えてみましょう。

問題次の三角形 ABC 内に点 O をとる。

直線 AO と辺 BC の交点を点 D、直線 BO と辺 CA の交点を E、直線 CO と辺 AB の交点を点 F とします。辺 BC の長さを $11$ とします。

長さの比は $AF : FB = 2 : 3$ 、 $CE : EA = 4 : 1$ とし、長さ $BC = 11$ とします。

このとき、長さ $BD$ を求めよ。

この問題はチェバの定理を使うと簡単に解くことができます。

チェバの定理は上の状況で、次の関係が成り立つことをいいます。

\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1

この式の左辺は $AF$ をスタートとして、 $AF$ 、 $FB$ 、 $BD$ ・・・のように順番に、分子、分母、分子、分母・・・と置いていった形をしています。

この掛け算が 1 になる、というのがチェバの定理です。

チェバの定理をわかっていれば、上の問題は次のように簡単に解けます。逆に知らないと難しくなってしまうので、しっかり覚えておきましょう。

解き方上の問題では、 $BD + DC = BC$ で $BC = 11$ ですから $BD = x$ 、 $DC = y$ とおくと $x + y = 11$ です。

また、 $AF : FB = 2 : 3$ 、 $CE : EA = 4 : 1$ をチェバの定理の形に書き直すと、次のようにかけます。

\begin{aligned} \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} &= 1 \\ \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{4}{1} &= 1 \\ \therefore 8 x &= 3y \end{aligned}

$x + y = 11$ と $8x = 3y$ から $x$ と $y$ を計算すると $x = 3$ 、 $y = 8$ 。

よって長さ $BD = 3$ となります。