組み合わせの主な問題

単純な組み合わせ

「メンバーが 10人。その中から 3 人選ぶときの 3 人の組み合わせは何通りあるか?」というような組み合わせの問題です。これが基本になります。

異なる \(n\) 個から \(r\) 個取り出す組み合わせの総数 \({}_n C_r\) は次の形で書けます。

\[ \begin{aligned} {}_n C_r &= \frac{n!}{r!(n-r)!} \end{aligned} \]

10人から 3 人選ぶ組み合わせなら、

\[ \begin{aligned} {}_{10} C_3 &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \end{aligned} \]

として計算できます。

次のページでは上の式を導きます。

組み合わせ

重複のある組み合わせ問題

お店やレストランで決まった数を注文するときのように、組み合わせ結果に同じモノがある組み合わせです。

これは本来順序を問わない組み合わせの問題なのですが、「仕切り板」を考えることで「同じモノが含まれるときの順列」と同様に、 ダブリのあるモノの順列の問題として解くことができます。

重複のある組み合わせ

チーム分け問題

10人のメンバーを 4人、4人、2人 のチームに分ける組み合わせが何通りあるか、といった問題です。

一般的に書くと、次の式で求められます。

異なる \(n\) 個のものを、\(r_1\) 個、\(r_2\) 個、\(\cdots\)、\(r_i\) 個に分ける組み合わせ方は次の式で求められます。

\[ {}_{n} C_{r_1} \cdot {}_{n-{r_1}} C_{r_2} \cdot {}_{n-{r_1}-{r_2}} C_{r_3} \cdots \cdot {}_{n-{r_1}-{r_2}-\cdots-r_{i-1}} C_{r_i} \]

チーム分け組み合わせ問題

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