面積素とパラメータ (曲面 $z=g(x,y)$ の場合)

前回の記事「面積素とパラメータ」では、曲面 $S$ を次の式としていました。

$$\overrightarrow{r}(u,v) = x(u,v) \overrightarrow{i} + y(u,v) \overrightarrow{j} + z(u,v) \overrightarrow{k}$$

これは、曲面 $S$ 上の任意の点を位置ベクトル $\overrightarrow{r} = \langle x(u,v), y(u,v), z(u,v) \rangle$ としていることと同じです。「$u$ と $v$ を使って、 $x, y, z$ 座標を何らかの関数 $x(u,v), y(u, v), z(u,v)$ で書く」と言ってるわけです。

一般的に状況を説明するにはこれで全く問題ないのですが、実際に何かの問題を解くには、$x, y, z$ をもっと具体的に書いておいた方が便利です。

そこで、$u, v$ の関数 $x(u,v)$ は単純に $x(u,v) = u$、関数 $y(u,v)$ も $y(u,v)=v$ とします。 こうすると $u, v$ は $x, y$ そのものになったので、上の式で $u, v$ を $x, y$ に書き換え、 $z$ は $x, y$ の関数 $g(x,y)$ で、 $z=g(x,y)$ としておきます。

$z=g(x,y)$ は曲面を表します。 $xyz$ 直交座標系で $xy$ 平面に対応して、山の高さ $z$ が $z=g(x,y)$ という関数で表されているイメージです。 この曲面を $S$ とします。

この曲面上の点の位置ベクトルは $\overrightarrow{r} = \langle x, y, g(x,y) \rangle$ です。

上の説明では 「$uv$平面」でパラメータが動き回る平面を考えましたが、 普通に $xy$ 平面上に独立変数 $x, y$ のとる領域を考えればよいことになります。この領域を $D$ とします。

$D$ は $S$ の $xy$ 平面への正射影になります。

$xy$ 平面での $D$ の面積素は $\Delta A = \Delta x \Delta y$ です。

上で見たように、面積素 $\Delta S$ と $\Delta A$ の関係は次の通りでした。($u, v$ を $x, y$ に置き換えます)

$$\Delta S = \Big| \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial y} \Big| \Delta A \\$$

$\overrightarrow{r} = \langle x, y, g(x,y) \rangle$ をあてはめて、ベクトル積を計算してみましょう。

ですから、これらのベクトル積 (外積) は次のように計算されます。

このベクトル積の大きさは次の通りです。

つまり、$xy$ 平面上の面積素 $\Delta A$ と、それに対応する曲面上の面積素 $\Delta S$ の関係式は次のようにかけることがわかりました。

$$\begin{aligned} \Delta S &= \Big| \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \overrightarrow{r}}{\partial y} \Big| \Delta A \\ &= \sqrt{\Big(\frac{\partial g}{\partial x}\Big)^2 + \Big(\frac{\partial g}{\partial y}\Big)^2 + 1} \ \ \Delta A \end{aligned}$$

この関係式によって、曲面 $S$ での面積分の計算をするときも、 曲面上で直接積分するかわりに、$xy$ 平面への正射影を利用して $S$ の面積分の値を計算できるようになります。