一階常微分方程式の解法

一階常微分方程式 (first order ordinary differential equations) を解く基本的な方法を整理します。

微分方程式の形によって、微分方程式の解法が異なります。 つまり「ナントカ形の微分方程式のときは、こんな解き方で解ける！」というパターンがいくつかあります。

ですから一階常微分方程式を解くためには、まずは ナントカ形の方程式とはどういう形の式であるか、ということと、それぞれの形の場合にどんな解法で解くのか、というのを覚える必要があります。

基本は、次の 6 パターンです。

• 変数分離形の微分方程式
  $$g(y) \frac{dy}{dx} = f(x)$$

  このとき、次の式で微分方程式を解く。

  $$\int g(y) dy = \int f(x) dx + C$$

• 同次形の微分方程式

  $$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} = f\Big(\frac{y}{x}\Big) \end{aligned}$$

  このとき、$y = ux$ なる $u(x)$ を使うと次の変数分離形となる。

  $$\begin{aligned} \int \frac{1}{f(u) - u} du &= \int \frac{1}{x} dx \end{aligned}$$

• 一階線形微分方程式
  $$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$$

  $q(x) = 0$ のとき、変数分離形として解ける。

  $q(x) \not = 0$ のとき、$P(x)$ を $f(x)$ の原始関数とし、積分因子 $\mu(x) = e^{P(x)}$ を用いて $y$ は次式で求められる。

  $$\begin{aligned} \ y &= \frac{1}{\mu} \int \mu q(x) dx \end{aligned}$$
• ベルヌーイの微分方程式

  $$\begin{aligned} \frac{dy}{dx} + p(x) y = q(x) y^n \tag{1} \end{aligned}$$

  $u = y^{1-n}$ とおくことによって、$u$ の一階線形微分方程式として解ける。

  $$\frac{du}{dx} + (1-n)p(x) u = (1-n) q(x)$$

• クレローの微分方程式

  $$y = xy' + f(y') \tag{1}$$

  この場合、次の一般解と特異解を持ちます。

  一般解:	$y = Cx + f(C)$
  特異解:	$x = - f'(p)$ $y = - p f'(p) + f(p)$ ( $p$ は媒介変数 )

• 完全微分形の微分方程式
  $$M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$$

  この微分方程式が完全微分形となる必要十分条件は　$\cfrac{\partial M}{\partial y} = \cfrac{\partial N}{\partial x}$ である。

  このとき一般解は次の式で求められる。

  $$F(x,y) = \int M dx + \int \Big( N - \frac{\partial}{\partial y} \int M dx \Big) dy$$

これらを覚えることで、かなり多くの微分方程式が解けるようになるはずです。