ロピタルの定理

ここで紹介するロピタルの定理 (l'Hopital's Rule) は、\(x \to 0\) とか \(x \to \infty\) としたときに、 \(\displaystyle\frac{0}{0}\) とか \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) となるとき (これを不定形といいます) に適用できます。

どういうものかというと、

\[ \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \]

ならば

\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L \]

となるというものです。つまり、分母と分子をそれぞれバラバラに微分してできた式の極限値 \(L\) は、もとの関数の極限値 \(L\) と同じということです。

とても簡単に計算できる場合が多々あるので、知っておくと非常に便利です。

次の極限値を求めよ。

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]

分子は \(x\) で、これが \(x \to 0\) なので当然分母は 0 に近づきます。分子の \(\sin x\) も \(x \to 0 \) の時は 0 に近付きます。\(\dfrac{0}{0}\) の形です。

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \frac{0}{0} \]

ですが、この場合ロピタルの定理が使えて

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{(\sin x)'}{(x)'} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} \\ &= 1 \end{aligned} \]

だから、

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

であることがわかります。

次の極限値を求めよ。

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-x-1}{x-1} \]

\(f(x)\)、\(g(x)\) が多項式の場合も同様です。

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-x-1}{x-1} = \frac{0}{0} \]

ですので、ロピタルの定理から次のようにできます。

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{(2x^2-x-1)'}{(x-1)'} &= \frac{4x-1}{1} \\ &= 3 \end{aligned} \]

したがって、

\[ \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-x-1}{x-1} = 3 \]

となります。

試しに因数分解してみましょう。

\[ \begin{aligned} \lim_{x \to 1} \frac{2x^2-x-1}{x-1} &= \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(2x+1)}{x-1} \\ &= \lim_{x \to 1} (2x+1) \\ &= 3 \end{aligned} \]

となり、上で求めた結果と同じになりました。

不定形のべき乗

上では \(\displaystyle\frac{0}{0}\) とか \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) という形の不定形を考えました。

その他、\(\displaystyle\lim_{x \to a} [f(x)]^{g(x)}\) のとき、次の場合も不定形のべき乗 (Indeterminate Powers) となります。

\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = 0 \) かつ \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = 0\)	\(0^0\) 形
\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \infty \) かつ \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = 0\)	\(\infty^0\) 形
\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = 1 \) かつ \(\displaystyle\lim_{x \to a} g(x) = \pm \infty\)	\(1^{\pm\infty}\) 形

不定形となり直ちには極限値がわかりません。このときは、どのように極限値を求めれば良いでしょうか。

この場合は自然対数をとることで、\(\displaystyle\frac{0}{0}\) とか \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\) という形に持ち込むことができます。対数をロピタルの定理などを用いて求められれば、\([f(x)]^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}\) の関係から極限値を求めることができます。