フーリエ正弦級数

「フーリエ級数」でみたように、周期 \(2L\) の周期関数 \(f(x)\) は、区分的に滑らかである時、次のような級数の形で書くことができます。

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \Big(a_n \cos\frac{n\pi x}{L} + b_n \sin\frac{n\pi x}{L}\Big) \]

ここでフーリエ係数 \(a_n\)、\(b_n\) は次の通り。

\[ \begin{aligned} a_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\frac{n\pi x}{L} dx & \small{(n = 0, 1, 2, \cdots)}\\ b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\frac{n\pi x}{L} dx & \small{(n = 1, 2, \cdots)}\\ \end{aligned} \]

さて、ここで \(f(x)\) が奇関数であるとします。 \(\cos\) は偶関数ですから、\(f(x)\) と \(\cos\) の積は奇関数になります。

偶関数、奇関数、という名前は \(f(x) = x^n\) という式の冪数の偶奇に由来しています。つまり、\(f(x) = x^2\) は偶関数、\(f(x) = x^3\) は奇関数、\(f(x) = x^4\) は偶関数です。 \(f(x) = x^2\) と \(g(x) = x^3\) の積は \(f(x)g(x) = x^5\) で奇関数になります。

このルールは奇関数 \(\sin x\) などとの積にも当てはまることが知られています。

したがって、上の \(a_n\) は直ちに \(0\) である、とわかります。

一方、\(\sin\) は奇関数ですから、 \(f(x)\) と \(\sin\) の積は偶関数になります。このため、\(b_n\) は

\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx\\ &= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} dx \end{aligned} \]

となります。

このことから、 \(f(x)\) が奇関数のとき、フーリエ級数は次のようになります。

\[ f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \Big(b_n \sin\frac{n\pi x}{L}\Big) \]

\[ \begin{aligned} b_n &= \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \sin\frac{n\pi x}{L} dx & \small{(n = 1, 2, \cdots)}\\ \end{aligned} \]

これを フーリエ正弦級数 (Fourier Sine Series) といいます。「正弦」はサインのことです。

奇周期的拡張

\(0 \lt x \lt L\) の範囲である関数 \(f(x)\) が定義されているとき、 \(f(x)\) が奇関数になるように \(-L \lt x \lt 0\) の範囲に拡張することを奇周期的拡張 (odd periodic expansion) といいます。

半周期 \(L\) だけ与えられた場合、奇周期的拡張することで、上記のフーリエ正弦級数に展開できるようになります。