方向余弦
方向余弦とは?
xyz 直交座標系で任意のベクトル v=⟨v1,v2,v3⟩ を考えます。
i、j、k を基本ベクトルとして、v と i のなす角を α、
v と j のなす角を β、
v と k のなす角を γ とします。

α、β、γ はそれぞれ x軸、y軸、z軸との角度を表しています。これらを v の direction angle (「方向角」と訳しておきます) といいます。
v の始点を原点として、v の終点とそこから x軸へ垂線を引きます。

こうしてできる三角形から、cosα=∥v∥v1 がわかります。
y軸、z 軸についても同様に考えると、次の関係がわかります。
cosαcosβcosγ=∥v∥v1=∥v∥v2=∥v∥v3
この cosα、cosβ、cosγ を v の方向余弦 (direction cosines) といいます。
内積の計算から方向余弦を考える
上では図からただちに、方向余弦の式を求めました。
ここでは内積の計算をすることで、同じ式が求められるか確かめてみましょう。
ベクトル v は基本ベクトルを使って次のように書けます。
v=v1i+v2j+v3k
i、j、k はそれぞれ直交しているので、
i⋅j=0、i⋅k=0 です。
よって、v と i との内積を考えると次のようになります。
v⋅i=(v1i+v2j+v3k)⋅i=v1(i⋅i) +v2(j⋅i)+v3(k⋅i)=v1∥i∥2=v1
また、v と i のなす角が α であり、 ∥i∥=1 であることから、それらの内積は次のようにも書けます。
v⋅i=∥v∥∥i∥cosα=∥v∥cosα
以上から、v1=∥v∥cosα がわかりました。
したがって、 cosα=∥v∥v1 となります。
j、k についても同様です。
v と同じ向きの単位ベクトルと方向余弦
さてここで、ベクトル v 向きの単位ベクトルを考えます。
v 向きの単位ベクトルは、v 自身の長さ ∥v∥ で割れば得られます。
∥v∥v=∥v∥v1i+∥v∥v2j+∥v∥v3k
上で見てきたように、これは方向余弦を使って次のようにかけます。
∥v∥v=cosαi+cosβj+cosγk
つまり v の方向余弦とは「v と同じ向きの単位ベクトルの成分」のことなのです。
方向余弦の問題
問題を解いて、理解を確かめてみましょう。
以上、方向余弦について説明しました。