方向余弦

方向余弦とは？

$xyz$ 直交座標系で任意のベクトル $\overrightarrow{v} = \langle v_1, v_2, v_3\rangle$ を考えます。

$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$、$\overrightarrow{k}$ を基本ベクトルとして、$\overrightarrow{v}$ と $\overrightarrow{i}$ のなす角を $\alpha$、 $\overrightarrow{v}$ と $\overrightarrow{j}$ のなす角を $\beta$、 $\overrightarrow{v}$ と $\overrightarrow{k}$ のなす角を $\gamma$ とします。

$\overrightarrow{v}$ の始点を原点として、$\overrightarrow{v}$ の終点とそこから $x$軸へ垂線を引きます。

こうしてできる三角形から、$\cos \alpha = \cfrac{v_1}{\| \overrightarrow{v}\|}$ がわかります。

$y$軸、$z$ 軸についても同様に考えると、次の関係がわかります。

この $\cos \alpha$、$\cos \beta$、$\cos \gamma$ を $\overrightarrow{v}$ の方向余弦 (direction cosines) といいます。

内積の計算から方向余弦を考える

上では図からただちに、方向余弦の式を求めました。

ここでは内積の計算をすることで、同じ式が求められるか確かめてみましょう。

ベクトル $\overrightarrow{v}$ は基本ベクトルを使って次のように書けます。

$$\overrightarrow{v} = v_1 \overrightarrow{i} + v_2 \overrightarrow{j} + v_3 \overrightarrow{k}$$

$\overrightarrow{i}$、$\overrightarrow{j}$、$\overrightarrow{k}$ はそれぞれ直交しているので、 $\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = 0$、$\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{k} = 0$ です。 よって、$\overrightarrow{v}$ と $\overrightarrow{i}$ との内積を考えると次のようになります。

また、$\overrightarrow{v}$ と $\overrightarrow{i}$ のなす角が $\alpha$ であり、 $\|\overrightarrow{i}\| = 1$ であることから、それらの内積は次のようにも書けます。

以上から、$v_1 = \| \overrightarrow{v}\| \cos \alpha$ がわかりました。

したがって、 $\cos \alpha = \cfrac{v_1}{\| \overrightarrow{v}\|}$ となります。

$\overrightarrow{j}$、$\overrightarrow{k}$ についても同様です。

$\overrightarrow{v}$ と同じ向きの単位ベクトルと方向余弦

さてここで、ベクトル $\overrightarrow{v}$ 向きの単位ベクトルを考えます。

$\overrightarrow{v}$ 向きの単位ベクトルは、$\overrightarrow{v}$ 自身の長さ $\| \overrightarrow{v} \|$ で割れば得られます。

$$\frac{\overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{v}\|} = \frac{v_1}{\|\overrightarrow{v}\|} \overrightarrow{i} + \frac{v_2}{\|\overrightarrow{v}\|} \overrightarrow{j} + \frac{v_3}{\|\overrightarrow{v}\|} \overrightarrow{k}$$

上で見てきたように、これは方向余弦を使って次のようにかけます。

$$\frac{\overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{v}\|} = \cos \alpha \overrightarrow{i} + \cos \beta \overrightarrow{j} + \cos \gamma \overrightarrow{k}$$

つまり $\overrightarrow{v}$ の方向余弦とは「$\overrightarrow{v}$ と同じ向きの単位ベクトルの成分」のことなのです。

方向余弦の問題

問題を解いて、理解を確かめてみましょう。

• 方向余弦 問題 1
• 方向余弦 問題 2

以上、方向余弦について説明しました。