方向余弦

方向余弦とは?

xyzxyz 直交座標系で任意のベクトル v=v1,v2,v3\overrightarrow{v} = \langle v_1, v_2, v_3\rangle を考えます。

i\overrightarrow{i}j\overrightarrow{j}k\overrightarrow{k} を基本ベクトルとして、v\overrightarrow{v}i\overrightarrow{i} のなす角を α\alphav\overrightarrow{v}j\overrightarrow{j} のなす角を β\betav\overrightarrow{v}k\overrightarrow{k} のなす角を γ\gamma とします。

方向余弦

α\alphaβ\betaγ\gamma はそれぞれ xx軸、yy軸、zz軸との角度を表しています。これらを v\overrightarrow{v} の direction angle (「方向角」と訳しておきます) といいます。

v\overrightarrow{v} の始点を原点として、v\overrightarrow{v} の終点とそこから xx軸へ垂線を引きます。

方向余弦

こうしてできる三角形から、cosα=v1v\cos \alpha = \cfrac{v_1}{\| \overrightarrow{v}\|} がわかります。

yy軸、zz 軸についても同様に考えると、次の関係がわかります。

cosα=v1vcosβ=v2vcosγ=v3v \begin{aligned} \cos \alpha &= \cfrac{v_1}{\| \overrightarrow{v}\|}\\ \cos \beta &= \cfrac{v_2}{\| \overrightarrow{v}\|}\\ \cos \gamma &= \cfrac{v_3}{\| \overrightarrow{v}\|}\\ \end{aligned}

この cosα\cos \alphacosβ\cos \betacosγ\cos \gammav\overrightarrow{v}方向余弦 (direction cosines) といいます。

内積の計算から方向余弦を考える

上では図からただちに、方向余弦の式を求めました。

ここでは内積の計算をすることで、同じ式が求められるか確かめてみましょう。

ベクトル v\overrightarrow{v} は基本ベクトルを使って次のように書けます。

v=v1i+v2j+v3k \overrightarrow{v} = v_1 \overrightarrow{i} + v_2 \overrightarrow{j} + v_3 \overrightarrow{k}

i\overrightarrow{i}j\overrightarrow{j}k\overrightarrow{k} はそれぞれ直交しているので、 ij=0\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{j} = 0ik=0\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{k} = 0 です。 よって、v\overrightarrow{v}i\overrightarrow{i} との内積を考えると次のようになります。

vi=(v1i+v2j+v3k)i=v1(ii) +v2(ji)+v3(ki)=v1i2=v1 \begin{aligned} \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{i} &= (v_1 \overrightarrow{i} + v_2 \overrightarrow{j} + v_3 \overrightarrow{k}) \cdot \overrightarrow{i}\\ &= v_1 (\overrightarrow{i} \cdot \overrightarrow{i}) \ + v_2 (\overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{i}) + v_3 (\overrightarrow{k} \cdot \overrightarrow{i})\\ &= v_1 \| \overrightarrow{i} \|^2 \\ &= v_1 \end{aligned}

また、v\overrightarrow{v}i\overrightarrow{i} のなす角が α\alpha であり、 i=1\|\overrightarrow{i}\| = 1 であることから、それらの内積は次のようにも書けます。

vi=vicosα=vcosα \begin{aligned} \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{i} &= \| \overrightarrow{v} \| \| \overrightarrow{i} \| \cos \alpha \\ &= \| \overrightarrow{v} \| \cos \alpha \end{aligned}

以上から、v1=vcosαv_1 = \| \overrightarrow{v}\| \cos \alpha がわかりました。

したがって、 cosα=v1v\cos \alpha = \cfrac{v_1}{\| \overrightarrow{v}\|} となります。

j\overrightarrow{j}k\overrightarrow{k} についても同様です。

v\overrightarrow{v} と同じ向きの単位ベクトルと方向余弦

さてここで、ベクトル v\overrightarrow{v} 向きの単位ベクトルを考えます。

v\overrightarrow{v} 向きの単位ベクトルは、v\overrightarrow{v} 自身の長さ v\| \overrightarrow{v} \| で割れば得られます。

vv=v1vi+v2vj+v3vk \frac{\overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{v}\|} = \frac{v_1}{\|\overrightarrow{v}\|} \overrightarrow{i} + \frac{v_2}{\|\overrightarrow{v}\|} \overrightarrow{j} + \frac{v_3}{\|\overrightarrow{v}\|} \overrightarrow{k}

上で見てきたように、これは方向余弦を使って次のようにかけます。

vv=cosαi+cosβj+cosγk \frac{\overrightarrow{v}}{\|\overrightarrow{v}\|} = \cos \alpha \overrightarrow{i} + \cos \beta \overrightarrow{j} + \cos \gamma \overrightarrow{k}

つまり v\overrightarrow{v} の方向余弦とは「v\overrightarrow{v} と同じ向きの単位ベクトルの成分」のことなのです。

方向余弦の問題

問題を解いて、理解を確かめてみましょう。

以上、方向余弦について説明しました。

ここまでお読みいただき、誠にありがとうございます。SNS 等でこの記事をシェアしていただけますと、大変励みになります。どうぞよろしくお願いします。

© 2025 基礎からの数学入門