順列の主な問題
順列はその名前の通り、「モノを順番に並べた列」です。
比較的、問題文の状況がイメージしやすく式が導きやすいです。 このため、本来順番を気にしない組み合わせの問題を解くときにさえも、順列に帰着させて問題を解くと簡単に解ける場合があります。
その意味で、順列をしっかりマスターすることは場合の数の数え上げに非常に大切なことです。
単純な順列
\(n\) 個の異なるモノから \(r\) 個取り出して順番に並べる場合です。一度取り出したら元に戻さないパターンです。
順列の総数 \({}_n P_r\) は次の形で書けます。
\[
\begin{aligned}
{}_n P_r &= \frac{n!}{(n-r)!}
\end{aligned}
\]
取り出して元にもどすときの順列 (重複順列)
\(n\) 個の異なるモノから \(r\) 個取り出して順番に並べる場合で、一度取り出したら元に戻すパターンです。
この時の順列の総数は、次の式で求まります。
\[
\begin{aligned}
n^r
\end{aligned}
\]
同じモノが含まれるときの順列
\(n\) 個のモノがあって、そのうちいくつかダブリがある場合の並べ替えパターンです。
一般に、\(n\) 個の要素内に \(c\) 種類の要素があり、それぞれ \(n_1, n_2, \cdots , n_c\) 個のダブリ (重複) がある場合の順列の総数 \(N\) は、 次の式で求められます。
\[
\begin{aligned}
N &=\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_c!}\\
& (n_1 + n_2 + \cdots + n_c = n)
\end{aligned}
\]
この考え方については、次の記事をみてください。