逆変形と基本行列

基本行列とは、単位行列にひとつの基本変形を行ったものです。

「単位行列と基本行列」でみたように、 基本行列には $P_n(i,j)$、$Q_n(i:3)$、$R_n(i,j;c)$ の三種類があります。

行基本変形を考えます。

$P_n(i,j)$ は $n$次の単位行列の $i$ 行目と $j$ 行目を入れ替えて得られる基本行列です。また、この基本変形を元に戻すように、 もう一度 $j$ 行目と $i$ 行目を入れ替えれば元の単位行列に戻ります。

つまり、

$$P_n (i, j) P_n(j, i) = I$$

かつ

$$P_n(j, i) P_n(i, j) = I$$

が成り立ちます。

$Q_n(i;c)$ は $n$次の単位行列の $i$ 行目を $c$ 倍して得られる基本行列です。また、この基本変形を元に戻すように、 もう一度 $i$ 行目を $1/c$ 倍すると元の単位行列に戻ります。$1/c$ 倍した行を $c$ 倍すると考えても同じです。

つまり、

$$Q_n (i;c) Q_n(i;1/c) = I$$

かつ

$$Q_n(i;1/c) Q_n(i;c) = I$$

が成り立ちます。

$R_n(i,j;c)$ は $n$次の単位行列の $i$ 行目に $j$ 行目を $c$ 倍して足し合わせて得られる基本行列です。また、この基本変形を元に戻すように、 もう一度 $i$ 行目に $j$ 行目の $-c$ 倍を足し合わせれば、元の単位行列に戻ります。$-c$ 倍した行を $c$ 倍して元に戻すと考えても同じです。

つまり、

$$R_n (i,j;c) R_n(i,j;-c) = I$$

かつ

$$R_n(i,j;-c) R_n(i,j;c) = I$$

が成り立ちます。

つまり、どの基本変形の場合も、実施した基本変形を戻す操作が存在します。ある基本変形を元に戻す変形を 逆変形 (inverse transformations) または 逆操作 (inverse operations) といいます。

ある基本変形に対する基本行列を $E$ とし、その変形に対する逆変形を表す基本行列を $E_0$ と書くと、常に

$$E E_0 = I$$

かつ

$$E_0 E = I$$

が満たされます。

つまり、$E$ に対する逆行列は $E_0$ となります。(また、$E_0$ に対する逆行列も $E$ とも言えます。) したがって、基本行列 $E$ は常に正則です。