f の勾配が等位面に垂直であるのはなぜか

$f(x,y,z)$ のスカラー場で、$\nabla f$ は等位面に垂直になります。 これがなぜそうわかるのか、説明します。

$f(x,y,z) = c$ ($c$ は定数) という等位面を考えます。

この等位面上の任意の曲線を $t$ をパラメータとして、次のように書きます。

さて、$f(x,y,z) = c$ を $t$ で微分すると、次のようになります。

$$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial f}{\partial z}\frac{dz}{dt} = 0$$

ここで、これを２つのベクトルの内積とみなして書き換えると、次のようにかけます。

$$\Big\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\Big\rangle \cdot \Big\langle \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \Big\rangle = 0$$

ここで、

$$\Big\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\Big\rangle$$

というのは、そもそも

$$\frac{\partial f}{\partial x} \overrightarrow{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \overrightarrow{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \overrightarrow{k}$$

の成分表示のことですから、

$$\Big\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\Big\rangle = \nabla f$$

です。

また、上で定義した $\overrightarrow{r}(t)$ を $t$ で微分すると、

$$\begin{aligned} \frac{\overrightarrow{r}(t)}{dt} &= \frac{x(t)}{dt} \overrightarrow{i} + \frac{y(t)}{dt} \overrightarrow{j} + \frac{z(t)}{dt} \overrightarrow{k}\\ &= \Big\langle \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \Big\rangle \end{aligned}$$

です。

つまり、

$$\Big\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\Big\rangle \cdot \Big\langle \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt} \Big\rangle = 0$$

というのは、次の式のことです。

$$\nabla f \cdot \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = 0$$

ここで、$\displaystyle\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}$ は等位面上の任意の曲線の接線ベクトルです。

曲線の接線ベクトルと勾配 $\nabla f$ の内積が $0$ ということは、これらが垂直であるということです。

すなわち、$\nabla f$ は等位面上の任意の曲線に垂直なので、$\nabla f$ は等位面に垂直であることがわかります。