複素フーリエ積分

「フーリエ積分」でみたように、フーリエ積分は次の形で記述できます。

\[ \begin{aligned} f(x) &= \int_0^{\infty} [A(s) \cos sx + B(s) \sin sx] ds\\ A(s) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos st dt\\ B(s) &= \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin st dt \end{aligned} \]

\(\cos st\) と \(\sin st\) が登場しているので、オイラーの公式 \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\) を使って式を整理してみましょう。

上記 \(A(s)\) と \(B(s)\) を最初の \(f(x)\) の式に代入すると、

\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \Big[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos st dt \cdot \cos sx \\ &\ \ + \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin st dt \cdot \sin sx \Big] ds\\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) [\cos st \cos sx + \sin st \sin sx] dt ds\\ &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\infty} \underbrace{ \Big\{ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos s(x - t) dt \Big\} }_{f_1(s)} ds \end{aligned} \]

ここで、\(\{ \}\) の中身を \(f_1(s)\) とすると、\(\cos\) は偶関数ですから、\(f_1(s)\) は偶関数です。

よって、\(f_1(s)\) の \(-\infty\) から \(\infty\) までの積分は、\(0\) から \(\infty\) までの積分の \(2\) 倍になります。よって、

\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos s(x - t) dt ds \tag{1} \end{aligned} \]

また、\((1)\) 式の \(\cos\) を \(\sin\) に代えた式を考えると、こちらは奇関数の \(-\infty\) から \(\infty\) までの積分が \(0\) であることから、

\[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin s(x - t) dt ds = 0 \tag{2} \]

です。これらから \((1) + i(2)\) を作ると、次の式になります。

\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) [\cos s(x-t) + i \sin s(x - t)] dt ds\\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{is(x-t)} dt ds \end{aligned} \]

これを複素フーリエ積分 (complex Fourier integral) といいます。