閉曲線で囲まれた滑らかな曲面 S で、連続なスカラー関数 f が定義されているとします。
このとき S を n 個の微小部分に分割し、i 番目の区画の面積を ΔSi、
その中の任意の点を Pi としたときに、次の和の極限を曲面 S 上の f の面積分 (surface integral) といいます。
曲面 S 上の f の面積分
n→∞limi=1∑nf(Pi)ΔS=∫SfdS
f=1 のとき、面積分の値は S の面積になります。
ベクトルの面積分
F のベクトル場の中で上記の曲面 S が定義されているとします。
この時、S の微小部分における F の法線方向成分 Fn は、単位法線ベクトルを n として、Fn=F⋅n と書けます。
つまり、F⋅n というのは「ベクトル F の S の法線方向成分を取り出す」という操作です。
ですから、スカラー関数 Fn(x,y,z)=F⋅n としたら 「Fn は S での F の法線成分量の分布を表すスカラー関数」になります。